Considere a função:
f(x, y)=ll e^x+y1+x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).

Passo 1

Neste exercício, temos uma função de duas variáveis definida de forma descontínua em (0,0):
f(x,y)= dfrace^x+y1+x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
O objetivo é calcular as derivadas parciais em (0,0) usando a definição de derivada parcial como limite de quociente incremental.

Passo 2

Para a derivada parcial em relação a x, fixamos y=0 e usamos
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como f(0,0)=0 e para h\neq0 temos
f(h,0)=e^h+01+h^2=e^h1+h^2,
o quociente fica
f(h,0)-0h=e^hh,(1+h^2)
Expandindo em série para h pequeno:
e^h=1+h+O(h^2),
e
1+h^2=1+O(h^2)
resulta em
e^h1+h^2=1+h+O(h^2),
portanto
e^hh(1+h^2)=1+h+O(h^2)h=1h+1+O(h)
Esse limite diverge ( pminfty) conforme h→0.

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, o raciocínio é análogo fixando x=0:
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0e^k/(1+k^2)k,
e pelo mesmo argumento de expansão obtemos
e^kk(1+k^2)=1k+1+O(k)
que também diverge.

Passo 4

Como ambas as derivadas parciais levam a quocientes que se comportam como 1/h ou 1/k quando o incremento tende a zero, os limites não são finitos e, portanto, as derivadas parciais não existem.

Resposta

As derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0) não existem, pois os respectivos quocientes incrementais divergem.

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