Considere a função f(x, y)=ll1-y, & y <=-x 1+x, & y>-x, definida para todos os pares de números reais (x, y).
Determine de0 tal que |f(x, y)-f(1,-1)|<10^-3 para todos os pontos (x, y) tais que |(x, y)-(1,-1)|.

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: temos a função definida por
f(x,y)=1-y,&y<= -x,1+x,&y>-x,
definida em R^2, e queremos achar de0 tal que sempre que
|(x,y)-(1,-1)|
tenhamos
|f(x,y)-f(1,-1)|<10^-3 O conteúdo é limites em várias variáveis e continuação de funções.

Passo 2

Primeiro calculemos o valor no ponto (1,-1). Como em (1,-1) vale y=-1 e -x=-1, estamos na região y<= -x. Logo
$$
f(1,-1)=1-(-1)=2.$$

Passo 3

Para garantir |f(x,y)-2|<10^-3, vejamos os dois casos da definição de f:
  • Se y<= -x, então f(x,y)=1-y e
|f(x,y)-2|=|1-y-2|=|y+1|
- Se y>-x, então f(x,y)=1+x e
|f(x,y)-2|=|1+x-2|=|x-1|

Passo 4

Agora relacionamos a norma euclidiana com as coordenadas: se
raiz(x-1)^2+(y+1)^2
então necessariamente
|x-1|
Em cada caso acima, |f(x,y)-2| é ou |y+1| ou |x-1|, portanto basta exigir de para que em ambos os casos
|f(x,y)-2|

Resposta

Uma escolha válida é de.

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