Uma função f é dita aditiva se o domínio de f é R e f(a+b)=f(a)+f(b) é verdadeiro para todos os números reais a e b.
(a) DÊ um exemplo de função aditiva.
(b) DÊ um exemplo de função não-aditiva.
© Mostre que se f é uma função aditiva, então f(0)=0.
(d) Mostre que uma função aditiva deve satisfazer a f(-x)=-f(x).

Passo 1

O exercício define que uma função f: R to R é aditiva se, para todos a,b in R, vale
f(a+b)=f(a)+f(b)
Precisamos: (a) dar um exemplo de função aditiva; (b) dar um exemplo de função não-aditiva; © mostrar que toda função aditiva satisfaz f(0)=0; (d) mostrar que f(-x)=-f(x).

Passo 2

Para (a), basta escolher uma função linear de coeficiente k. Por exemplo,
f(x)=k,x,
com k constante. De fato,
f(a+b)=k(a+b)=ka+kb=f(a)+f(b),\nportanto f é aditiva.

Passo 3

Para (b), podemos usar uma função que não seja linear na soma, como
g(x)=x^2
Então
g(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
e
g(a)+g(b)=a^2+b^2
Como a^2+2ab+b^2neq a^2+b^2 em geral (quando abneq0), g não é aditiva.

Passo 4

Para ©, aplicamos a propriedade com a=b=0:
f(0+0)=f(0)+f(0)
Como 0+0=0, isso dá
f(0)=2f(0)
Subtraindo f(0) dos dois lados, obtemos
f(0)=0

Passo 5

Para (d), note que x+(-x)=0. Usando aditividade:
f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
Mas o lado esquerdo é f(0)=0, então
0=f(x)+f(-x),
logo
f(-x)=-f(x)

Resposta

(a) f(x)=k,x (por exemplo, k=1, então f(x)=x).
(b) g(x)=x^2.
© Qualquer função aditiva satisfaz f(0)=0.
(d) Qualquer função aditiva satisfaz f(-x)=-f(x).

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