Uma função
é dita aditiva se o domínio de
é
e
é verdadeiro para todos os números reais
e
.
(a) DÊ um exemplo de função aditiva.
(b) DÊ um exemplo de função não-aditiva.
© Mostre que se
é uma função aditiva, então
.
(d) Mostre que uma função aditiva deve satisfazer a
.
(a) DÊ um exemplo de função aditiva.
(b) DÊ um exemplo de função não-aditiva.
© Mostre que se
(d) Mostre que uma função aditiva deve satisfazer a
Passo 1
O exercício define que uma função
é aditiva se, para todos
, vale
Precisamos: (a) dar um exemplo de função aditiva; (b) dar um exemplo de função não-aditiva; © mostrar que toda função aditiva satisfaz
Passo 2
Para (a), basta escolher uma função linear de coeficiente
. Por exemplo,
com
Passo 3
Para (b), podemos usar uma função que não seja linear na soma, como
Então
e
Como
Passo 4
Para ©, aplicamos a propriedade com
:
Como
Subtraindo
dos dois lados, obtemos
Passo 5
Para (d), note que
. Usando aditividade:
Mas o lado esquerdo é
logo
Resposta
(a)
(por exemplo,
, então
).
(b) .
© Qualquer função aditiva satisfaz .
(d) Qualquer função aditiva satisfaz .
(b)
© Qualquer função aditiva satisfaz
(d) Qualquer função aditiva satisfaz