Identifique e esboce as superfícies de equações abaixo.
x^2+2 z^2-6 x-y+10=0

Passo 1

O problema pede para identificar e esboçar a superfície dada por x^2+2z^2-6x-y+10=0. O conteúdo é superfícies quádricas e vamos precisar completar quadrados e reescrever a equação para reconhecer o tipo de superfície.

Passo 2

Começamos completando o quadrado na variável x:
Reescrevendo x^2-6x temos
x^2-6x=(x-3)^2-9
Substituindo na equação original, após substituir e agrupar termos, a equação fica
(x-3)^2-9+2z^2-y+10=0
Somando -9 com 10 e isolando y, obtemos
(x-3)^2+2z^2-y+1=0
y=(x-3)^2+2z^2+1

Passo 3

A forma y=(x-3)^2+2z^2+1 é a equação padrão de um paraboloide elíptico que abre para a direção positiva de y. O vértice está no ponto (3,1,0), pois é onde os quadrados são nulos.

Passo 4

Para esboçar: desenhe o eixo y na vertical e os eixos x,z no plano horizontal. No plano y=k (horizontal), as seções são elipses centradas em (3,k,0), com semieixos variando conforme k-1. Quanto maior y, maior a elipse. O vértice em y=1 é o ponto mais baixo da superfície.

Resposta

Trata-se de um paraboloide elíptico com vértice em (3,1,0), que abre para o eixo positivo y.

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