Identifique e esboce as superfícies de equações abaixo.
Passo 1
O problema pede para identificar e esboçar a superfície dada por
. O conteúdo é superfícies quádricas e vamos precisar completar quadrados e reescrever a equação para reconhecer o tipo de superfície.
Passo 2
Começamos completando o quadrado na variável
:
Reescrevendo temos
Reescrevendo
Substituindo na equação original, após substituir e agrupar termos, a equação fica
Somando
com
e isolando
, obtemos
Passo 3
A forma
é a equação padrão de um paraboloide elíptico que abre para a direção positiva de
. O vértice está no ponto
, pois é onde os quadrados são nulos.
Passo 4
Para esboçar: desenhe o eixo
na vertical e os eixos
no plano horizontal. No plano
(horizontal), as seções são elipses centradas em
, com semieixos variando conforme
. Quanto maior
, maior a elipse. O vértice em
é o ponto mais baixo da superfície.
Resposta
Trata-se de um paraboloide elíptico com vértice em (3,1,0), que abre para o eixo positivo y.