Considere a função f(x, y)=llx^2+y^2+1 & , y >= 0 0 & , y<0. Pede-se:
Determine em que pontos f é contínua, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em
R^2: para y>=0 ela vale x^2+y^2+1 e para y<0 ela vale 0. O conteúdo envolvido é continuidade de funções em várias variáveis, e vamos usar que polinômios e funções constantes são contínuos em toda parte.

Passo 2

Para y>0, temos f(x,y)=x^2+y^2+1, que é um polinômio em (x,y). Polinômios são contínuos em todo o domínio, então f é contínua em todos os pontos com y>0.

Passo 3

Para y<0, temos f(x,y)=0, que é constante. Funções constantes também são contínuas em todo o domínio, logo f é contínua em todos os pontos com y<0.

Passo 4

Falta analisar a fronteira y=0. Se y=0, então f(x,0)=x^2+0^2+1=x^2+1. Para testar continuidade, comparamos o valor no ponto com o limite quando (x,y)to(x0,0).
Do lado de cima ( y>0) o valor se aproxima de
x0^2+0^2+1=x0^2+1,
enquanto do lado de baixo ( y<0) o valor é sempre 0, então o limite lateral é 0. Para haver continuidade precisaríamos de
0= x0^2+1,
o que nunca ocorre para x0inR. Portanto, em todo ponto da reta y=0 o limite não coincide com o valor da função.

Passo 5

Concluímos que a função é contínua exatamente onde yneq0 (nas duas regiões abertas y>0 e y<0), e é descontínua para todo ponto da reta y=0.

Resposta

f é contínua em todos os pontos com y>0 e com y<0, e é descontínua em todos os pontos da reta y=0.

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