Considere a função
. Pede-se:
Determine em que pontos
é contínua, justificando sua resposta.
Determine em que pontos
Passo 1
O enunciado define uma função por partes em
: para
ela vale
e para
ela vale 0. O conteúdo envolvido é continuidade de funções em várias variáveis, e vamos usar que polinômios e funções constantes são contínuos em toda parte.
Passo 2
Para
, temos
, que é um polinômio em
. Polinômios são contínuos em todo o domínio, então
é contínua em todos os pontos com
.
Passo 3
Para
, temos
, que é constante. Funções constantes também são contínuas em todo o domínio, logo
é contínua em todos os pontos com
.
Passo 4
Falta analisar a fronteira
. Se
, então
. Para testar continuidade, comparamos o valor no ponto com o limite quando
.
Do lado de cima ( ) o valor se aproxima de
Do lado de cima (
enquanto do lado de baixo (
o que nunca ocorre para
. Portanto, em todo ponto da reta
o limite não coincide com o valor da função.
Passo 5
Concluímos que a função é contínua exatamente onde
(nas duas regiões abertas
e
), e é descontínua para todo ponto da reta
.
Resposta
f é contínua em todos os pontos com y>0 e com y<0, e é descontínua em todos os pontos da reta y=0.