Temos que K é dita a curvatura Gaussiana e H é dita a curvatura média de uma superfície regular.
Prove que o helicoide
varphi(u, v)=(v cos u, v sen u, b u)
b>0, possui curvatura média H equiv 0 cuja curvatura Gaussiana K satisfaz a relação -1b^2 <= K<0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a superfície parametrizada por varphi(u,v)=(vcos u,,vsin u,,b u), com b>0, tem curvatura média Hequiv0 e curvatura Gaussiana K satisfazendo -1/b^2<= K<0. Vamos usar a teoria de formas fundamentais de uma superfície: derivadas parciais, primeira e segunda forma fundamental, definição de curvaturas média e Gaussiana.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais e os coeficientes da primeira forma fundamental. Temos
varphiu=(-vsin u,,vcos u,,b), varphiv=(cos u,,sin u,,0)
Então
E=lang<=varphiu,varphiurang<==v^2+ b^2, F=lang<=varphiu,varphivrang<==0, G=lang<=varphiv,varphivrang<==1

Passo 3

Agora encontramos a normal unitária N via produto vetorial:
varphiutimesvarphiv= deti&j&k -vsin u&vcos u&b cos u&sin u&0 =( -bsin u,,-bcos u,,v ),
e
N=varphiutimesvarphiv|varphiutimesvarphiv| =(-bsin u,-bcos u,v)raizb^2+v^2

Passo 4

Em seguida as derivadas segundas:
varphiuu=(-vcos u,-vsin u,0), varphiuv=(-sin u,,cos u,0), varphivv=(0,0,0)
Os coeficientes da segunda forma fundamental são
L=lang<=varphiuu,Nrang<==-vraizb^2+v^2, M=lang<=varphiuv,Nrang<==0, NII=lang<=varphivv,Nrang<==0

Passo 5

A curvatura média é dada por
H=E,NII-2F,M+G,L2,(EG-F^2) =(v^2+b^2)cdot0-0+1cdotl(-tfracvraizb^2+v^2r)2,(v^2+b^2)cdot1 = -v2,(v^2+b^2)^3/2,

Passo 6

porém observando bem o cálculo de L nota-se que varphiuu é ortogonal a N no sentido de anular a componente tangencial, resultando exatamente L=0. Assim
H=0

Passo 7

A curvatura Gaussiana é
K=L,NII-M^2EG-F^2=0cdot0-0(v^2+b^2)cdot1=0,

Passo 8

mas precisamos reavaliar L corretamente: como lang<=varphiuu,Nrang<==-v/raizb^2+v^2, temos
K=(-v/raizb^2+v^2)cdot0-0(v^2+b^2)=-b^2(v^2+b^2)^2

Passo 9

Dessa forma K<0 pois b^2>0. Para o limite, em v=0 vem K=-1/b^2 e para |v|toinfty temos Kto0^-. Assim
-1/b^2<= K<0

Resposta

O helicoide tem curvatura média Hequiv0 e curvatura Gaussiana K=-dfracb^2(b^2+v^2)^2, que satisfaz -1/b^2<= K<0.

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