Temos que é dita a curvatura Gaussiana e é dita a curvatura média de uma superfície regular.
Prove que o helicoide
, possui curvatura média cuja curvatura Gaussiana satisfaz a relação .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a superfície parametrizada por , com , tem curvatura média e curvatura Gaussiana satisfazendo . Vamos usar a teoria de formas fundamentais de uma superfície: derivadas parciais, primeira e segunda forma fundamental, definição de curvaturas média e Gaussiana.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais e os coeficientes da primeira forma fundamental. Temos
Então
Passo 3
Agora encontramos a normal unitária via produto vetorial:
porém observando bem o cálculo de L nota-se que varphiuu é ortogonal a N no sentido de anular a componente tangencial, resultando exatamente L=0. Assim
H=0
Passo 7
A curvatura Gaussiana é
K=L,NII-M^2EG-F^2=0cdot0-0(v^2+b^2)cdot1=0,
Passo 8
mas precisamos reavaliar L corretamente: como lang<=varphiuu,Nrang<==-v/raizb^2+v^2, temos