Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções: u=x^y / z

Passo 1

A questão nos dá a função de três variáveis u(x,y,z)=x^y/z e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x, y e z. O conteúdo de matéria é diferenciação de funções de várias variáveis, usando logaritmo para lidar com variável no expoente.

Passo 2

Para simplificar a diferenciação, vamos reescrever u em termos da função exponencial. Como nu = x^y/z = expl(tfracyzln xr), definimos

Passo 3

Agora calculamos partial u/partial x. A gente trata y e z como constantes, e usa a regra da cadeia em u=exp(E) com E=(y/z)ln x. Temos
partial upartial x = u cdot partial partial xl(tfracyzln xr) = x^y/z cdot yzcdot 1x = yz,x^tfracyz-1

Passo 4

Em seguida, partial u/partial y. Agora x e z são constantes, e diferenciamos apenas o fator E=(y/z)ln x em relação a y:
partial upartial y = u cdot partial partial yl(tfracyzln xr) = x^y/z cdot 1zln x = ln xz,x^y/z

Passo 5

Por fim, partial u/partial z. Aqui x e y são constantes, então diferenciamos E=(y/z)ln x em relação a z. Como y/z = y,z^-1,
partial partial zl(tfracyzr) = -yz^2,,
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partial upartial z = u cdot l(-yz^2ln xr) = -yln xz^2,x^y/z

Resposta

partial upartial x=yz,x^tfracyz-1, partial upartial y=ln xz,x^tfracyz, partial upartial z=-yln xz^2,x^tfracyz

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