Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso envolve calcular
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais, regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Aqui,
é uma função de três variáveis:
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a derivada em relação a
:
Aqui, derivamos
e aplicamos a regra da cadeia na parte do logaritmo.
Passo 5
Simplificando
:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Usamos a derivada do logaritmo e simplificamos.
Passo 7
Vamos derivar
novamente em relação a
para obter
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Primeiro, precisamos derivar
em relação a
:
Como
não depende de
, a derivada é zero.
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são: