Determine as derivadas parciais indicadas. f(r, s, t)=r ln (r s^2 t^3) ; fr s s, fr s t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso envolve calcular e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Aqui, é uma função de três variáveis: , e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a derivada em relação a fr = ln (r s^2 t^3) + r cdot 1r s^2 t^3 cdot s^2 t^3 :
Aqui, derivamos e aplicamos a regra da cadeia na parte do logaritmo.

Passo 5

Simplificando fr = ln (r s^2 t^3) + 1 :

Passo 6

Agora, vamos derivar fr s = partialpartial s ( ln (r s^2 t^3) + 1 ) = 2sr s^2 t^3 = 2s em relação a para encontrar :
Usamos a derivada do logaritmo e simplificamos.

Passo 7

Vamos derivar fr s s = partialpartial s ( 2s ) = -2s^2 novamente em relação a para obter :

Passo 8

Agora, vamos calcular fr s t = partialpartial t ( 2s ) = 0 . Primeiro, precisamos derivar em relação a :
Como não depende de , a derivada é zero.

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
fr s s = -2s^2 e fr s t = 0

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