Considere a função: f(x, y)=y \ln x. Calcule:
a. Determine o gradiente de f;
b. Calcule o gradiente de f no ponto P(1,-3);
c. Encontre a taxa de variação de f em P(1,-3) na direção do vetor \vec{u}=\left\langle-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle.
d. Calcule a taxa de variação máxima de f no ponto P(1,-3) e a direção onde isso ocorre.
Passo 1
O enunciado define a função \,f(x,y)=y\ln x para x>0 e pede: (a) o gradiente de f; (b) o gradiente em P(1,-3); (c) a taxa de variação direcional em P na direção do vetor unitário \vec{u}=\langle -\tfrac{4}{5},\,\tfrac{3}{5}\rangle; (d) a taxa de variação máxima em P e a direção onde isso ocorre.
O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Para obter o gradiente \nabla f usamos as derivadas parciais: \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
Como \,f(x,y)=y\ln x, tratando y como constante,