Considere a função: f(x, y)=y \ln x. Calcule:
a. Determine o gradiente de f;
b. Calcule o gradiente de f no ponto P(1,-3);
c. Encontre a taxa de variação de f em P(1,-3) na direção do vetor \vec{u}=\left\langle-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle.
d. Calcule a taxa de variação máxima de f no ponto P(1,-3) e a direção onde isso ocorre.

Passo 1

O enunciado define a função \,f(x,y)=y\ln x para x>0 e pede: (a) o gradiente de f; (b) o gradiente em P(1,-3); (c) a taxa de variação direcional em P na direção do vetor unitário \vec{u}=\langle -\tfrac{4}{5},\,\tfrac{3}{5}\rangle; (d) a taxa de variação máxima em P e a direção onde isso ocorre.
O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para obter o gradiente \nabla f usamos as derivadas parciais: \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
Como \,f(x,y)=y\ln x, tratando y como constante,
\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot\frac{1}{x}=\frac{y}{x}.
Como \ln x é constante em relação a y,
\frac{\partial f}{\partial y}=\ln x.
Logo,
\nabla f(x,y)=\bigl\langle \tfrac{y}{x},\,\ln x\bigr\rangle.

Passo 3

Para calcular \nabla f no ponto P(1,-3), substituímos x=1 e y=-3 em cada componente:
\frac{y}{x}\Big|_{(1,-3)}=\frac{-3}{1}=-3,
\ln x\Big|_{(1,-3)}=\ln(1)=0.
Portanto,
\nabla f(1,-3)=\langle -3,\,0\rangle.

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \vec{u} é dada por
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}.
Usando \nabla f(1,-3)=\langle -3,0\rangle e \vec{u}=\langle -\tfrac{4}{5},\,\tfrac{3}{5}\rangle, temos
D_{\vec{u}}f(1,-3)=(-3)\cdot\Bigl(-\tfrac{4}{5}\Bigr)+0\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)=\frac{12}{5}.

Passo 5

A taxa de variação é máxima na direção do próprio gradiente, e seu valor máximo é o módulo de \nabla f(P). Assim,
\|\nabla f(1,-3)\|=\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}}=3.
O vetor unitário nessa direção é
\frac{\nabla f(1,-3)}{\|\nabla f(1,-3)\|}=\frac{\langle -3,0\rangle}{3}=\langle -1,0\rangle.

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\langle \tfrac{y}{x},\,\ln x\rangle
(b) \nabla f(1,-3)=\langle -3,\,0\rangle
(c) D_{\vec{u}}f(1,-3)=\tfrac{12}{5}
(d) taxa de variação máxima: 3, na direção \langle -1,0\rangle

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