Seja f(x, y, z)=9 x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}. Encontre o vetor gradiente \nabla f(1,3 \sqrt{2} / 2,1) e use-o para encontrar o plano tangente à superfície de nível f(x, y, z)=36 no ponto P(1,3 \sqrt{2} / 2,1).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=9x^{2}+4y^{2}+9z^{2}
e pede:
  1. O vetor gradiente \nabla f(1,\tfrac{3\sqrt{2}}{2},1).
  2. O plano tangente à superfície de nível f(x,y,z)=36 no ponto P\bigl(1,\tfrac{3\sqrt{2}}{2},1\bigr).
    Para isso, usaremos derivadas parciais para obter \nabla f, lembraremos que em uma superfície de nível o gradiente é normal ao plano tangente, e escreveremos a equação do plano usando \nabla f(P)\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.

Passo 2

Calculamos as parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=18x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=8y,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=18z.
Logo o gradiente é
\nabla f(x,y,z) = \bigl(18x,\;8y,\;18z\bigr).
Em P\bigl(1,\tfrac{3\sqrt{2}}{2},1\bigr) temos
\nabla f\bigl(1,\tfrac{3\sqrt{2}}{2},1\bigr) =\Bigl(18\cdot1,\;8\cdot\tfrac{3\sqrt{2}}{2},\;18\cdot1\Bigr) =(18,\;12\sqrt{2},\;18).

Passo 3

Como \nabla f(P) é normal à superfície de nível, a equação do plano tangente em P vem de
\nabla f(P)\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.
Substituindo \nabla f(P)=(18,12\sqrt{2},18) e P=(1,\tfrac{3\sqrt{2}}{2},1):
18(x-1)+12\sqrt{2}\Bigl(y-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\Bigr)+18(z-1)=0.
Agora simplificamos:
18x-18+12\sqrt{2}\,y-12\sqrt{2}\cdot\tfrac{3\sqrt{2}}{2}+18z-18=0 \quad\Rightarrow\quad 18x+12\sqrt{2}\,y+18z-72=0.
Dividindo tudo por 6:
3x+2\sqrt{2}\,y+3z-12=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x+2\sqrt{2}\,y+3z=12.

Resposta

Vetor gradiente:
\nabla f\bigl(1,\tfrac{3\sqrt{2}}{2},1\bigr)=(18,\,12\sqrt{2},\,18).
Plano tangente:
3x+2\sqrt{2}\,y+3z=12.

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