Seja
. Encontre o vetor gradiente
e use-o para encontrar o plano tangente à superfície de nível
no ponto
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
- O vetor gradiente
. - O plano tangente à superfície de nível
no ponto .
Para isso, usaremos derivadas parciais para obter, lembraremos que em uma superfície de nível o gradiente é normal ao plano tangente, e escreveremos a equação do plano usando .
Passo 2
Calculamos as parciais:
Logo o gradiente é
Em
temos
Passo 3
Como
é normal à superfície de nível, a equação do plano tangente em
vem de
Substituindo
e
:
Agora simplificamos:
Dividindo tudo por
:
Resposta
Vetor gradiente:
Plano tangente: