partículas de massa \mathrm{m}_{1}=5,0 \mathrm{~g}, \mathrm{~m}_{2}=11,0 \mathrm{~g} e \mathrm{m}_{3}=8,0 \mathrm{~g} ocupam, respectivamen (2,1,3),(6,7,9) e (-1,-2,3) de um espaço tridimensional. Determine o vetor p tro de massa desse sistema \left(\mathbf{R}_{\mathrm{CM}}\right), bem como o seu módulo.

Passo 1

O enunciado dá três partículas de massas \mathrm{m}_{1}=5{,}0 g, \mathrm{m}_{2}=11{,}0 g e \mathrm{m}_{3}=8{,}0 g localizadas nos pontos (2,1,3), (6,7,9) e (-1,-2,3). Pede-se o vetor posição do centro de massa \mathbf{R}_{\mathrm{CM}} do sistema e o seu módulo. Para resolver usamos a definição de centro de massa de um sistema de partículas:
\mathbf{R}_{\mathrm{CM}} = \frac{1}{M_{\text{tot}}}\sum_{i} m_i \mathbf{r}_i,
onde M_{\text{tot}}=\sum_i m_i.

Passo 2

Calcular a massa total:
M_{\mathrm{tot}} = m_1 + m_2 + m_3 = 5{,}0 + 11{,}0 + 8{,}0 = 24{,}0\\ \text{g}.

Passo 3

Calcular a soma ponderada das coordenadas:
\sum_i m_i x_i = 5\cdot2 + 11\cdot6 + 8\cdot(-1) = 10 + 66 - 8 = 68,
\sum_i m_i y_i = 5\cdot1 + 11\cdot7 + 8\cdot(-2) = 5 + 77 - 16 = 66,
\sum_i m_i z_i = 5\cdot3 + 11\cdot9 + 8\cdot3 = 15 + 99 + 24 = 138.

Passo 4

Dividir cada soma ponderada pela massa total para obter \mathbf{R}_{\mathrm{CM}}=(X_{\mathrm{CM}},Y_{\mathrm{CM}},Z_{\mathrm{CM}}):
X_{\mathrm{CM}} = \frac{68}{24} = \frac{17}{6}\approx2{,}8333,\quad Y_{\mathrm{CM}} = \frac{66}{24} = \frac{11}{4}=2{,}75,\quad Z_{\mathrm{CM}} = \frac{138}{24} = \frac{23}{4}=5{,}75.

Passo 5

Calcular o módulo de \mathbf{R}_{\mathrm{CM}}:
\|\mathbf{R}_{\mathrm{CM}}\| = \sqrt{\bigl(\tfrac{17}{6}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{11}{4}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{23}{4}\bigr)^{2}} \approx \sqrt{8{,}0278 + 7{,}5625 + 33{,}0625} \approx \sqrt{48{,}6528} \approx 6{,}98.

Resposta

\displaystyle \mathbf{R}_{\mathrm{CM}} = \bigl(\tfrac{17}{6},\,\tfrac{11}{4},\,\tfrac{23}{4}\bigr)\approx(2{,}8333,\,2{,}75,\,5{,}75),
\|\mathbf{R}_{\mathrm{CM}}\|\approx6{,}98.

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