Pergunta 5 2,5 pts
Considere a integral
\int_{0}^{b} \int_{0}^{x^{2}}(x y) d y d x.
O valor de b para que a integral seja igual a 6/12 é igual a
OBS: Aplique o critério usual de arredondamento e dê o resultado com 2 casas decimais.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a integral dupla \int_{0}^{b}\int_{0}^{x^{2}} (x\,y)\,dy\,dx.
  • Pede-se: encontrar o valor de b tal que o valor da integral seja \dfrac{6}{12}.
  • Observação sobre o pedido de arredondamento: aplicar o critério usual e apresentar o resultado com duas casas decimais.

Passo 2

Entendendo a integral dupla e a ordem de integração.
  • A integral está em ordem dy (interno) e depois dx (externo). Isso significa que, para cada valor fixo de x entre 0 e b, primeiro integramos a função em y de 0 até x^{2}.
  • Importante: ao integrar em y com x fixo, x é uma constante em relação a y. Por isso podemos fatorar x para fora da integral interna.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{x^{2}} x\,y\,dy.
  • Fatorando x (constante em relação a y):
\int_{0}^{x^{2}} x\,y\,dy = x\int_{0}^{x^{2}} y\,dy.
  • Usando a regra da primitiva para potências: \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}. Então
x\int_{0}^{x^{2}} y\,dy = x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x^{2}} = x\cdot\frac{(x^{2})^{2}}{2} = x\cdot\frac{x^{4}}{2} = \frac{x^{5}}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x a expressão obtida: \displaystyle \int_{0}^{b} \frac{x^{5}}{2}\,dx.
  • Fatorando \dfrac{1}{2}:
\int_{0}^{b} \frac{x^{5}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{b} x^{5}\,dx.
  • Aplicando a regra da primitiva para potências: \displaystyle \int x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6}. Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{b} x^{5}\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{b} = \frac{1}{2}\cdot\frac{b^{6}}{6} = \frac{b^{6}}{12}.

Passo 5

Impor a condição do enunciado e resolver para b.
  • O enunciado pede que a integral valha \dfrac{6}{12}. Primeiro simplifico esse número:
\frac{6}{12} = \frac{1}{2}.
  • Igualando ao valor que encontramos:
\frac{b^{6}}{12} = \frac{1}{2}.
  • Multiplicando ambos os lados por 12:
b^{6} = 6.
  • Tomando a raiz sexta (raiz real positiva, pois b é limite superior de integração e presume-se b\ge 0):
b = \sqrt[6]{6} = 6^{1/6}.

Passo 6

Calcular numericamente b = 6^{1/6} e arredondar com duas casas decimais.
  • Para uma aproximação numérica, pode-se usar b = e^{\ln 6 /6}. Sabendo que \ln 6 \approx 1,791759, tem-se
\frac{\ln 6}{6} \approx 0,2986266, \qquad b \approx e^{0,2986266} \approx 1,3480069.
  • Arredondando para duas casas decimais pelo critério usual (verificar a terceira casa decimal, que é 8, portanto arredonda para cima):
b \approx 1,35.

Resposta

1,35

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