Pergunta 5 2,5 pts
Considere a integral
.
O valor de b para que a integral seja igual a 6/12 é igual a
OBS: Aplique o critério usual de arredondamento e dê o resultado com 2 casas decimais.
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Considere a integral
O valor de b para que a integral seja igual a 6/12 é igual a
OBS: Aplique o critério usual de arredondamento e dê o resultado com 2 casas decimais.
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Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a integral dupla
- Pede-se: encontrar o valor de
tal que o valor da integral seja . - Observação sobre o pedido de arredondamento: aplicar o critério usual e apresentar o resultado com duas casas decimais.
Passo 2
Entendendo a integral dupla e a ordem de integração.
- A integral está em ordem
(interno) e depois (externo). Isso significa que, para cada valor fixo de entre e , primeiro integramos a função em de até . - Importante: ao integrar em
com fixo, é uma constante em relação a . Por isso podemos fatorar para fora da integral interna.
Passo 3
Calcular a integral interna
.
- Fatorando
(constante em relação a ):
- Usando a regra da primitiva para potências:
. Então
Passo 4
Agora integramos em
a expressão obtida:
.
- Fatorando
:
- Aplicando a regra da primitiva para potências:
. Portanto
Passo 5
Impor a condição do enunciado e resolver para
.
- O enunciado pede que a integral valha
. Primeiro simplifico esse número:
- Igualando ao valor que encontramos:
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Tomando a raiz sexta (raiz real positiva, pois
é limite superior de integração e presume-se ):
Passo 6
Calcular numericamente
e arredondar com duas casas decimais.
- Para uma aproximação numérica, pode-se usar
. Sabendo que , tem-se
- Arredondando para duas casas decimais pelo critério usual (verificar a terceira casa decimal, que é
, portanto arredonda para cima):