Considere a função
. Determine:
(b) A derivada direcional de
na direção do vetor
, versor do vetor
.
(b) A derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x - y^{3}} $ e precisamos descobrir a derivada direcional dessa função na direção de um vetor específico. Vamos focar na derivada direcional na direção do vetor
, que é o versor (ou seja, o vetor unitário) do vetor
.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função e o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o vetor direção
. Como
é o versor de
, vamos normalizar
para obter
.
A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo (ou comprimento).
O módulo de
é:
Então, o versor
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, vamos encontrar
e
.
Dada a função:
Vamos reescrever como:
Calculando
:
Calculando
:
Então, o gradiente
é:
Passo 4
A derivada direcional de $ f $ na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ com o vetor direção
.
Ou seja:
Substituindo o gradiente e o vetor
:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar:
Simplificando cada termo:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ na direção do vetor
é: