Considere a função f(x, y)=raiz4-x-y^3. Determine:
(b) A derivada direcional de f na direção do vetor u, versor do vetor v=(-3,4).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x - y^{3}} $ e precisamos descobrir a derivada direcional dessa função na direção de um vetor específico. Vamos focar na derivada direcional na direção do vetor f(x, y) = raiz4 - x - y^3 , que é o versor (ou seja, o vetor unitário) do vetor u.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função e o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor direção u. Como u é o versor de v = (-3, 4), vamos normalizar v para obter u.
A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo (ou comprimento).
O módulo de v é:
|v| = raiz(-3)^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o versor u é:
u = ( -35, 45 )

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, vamos encontrar f(x, y) e f .
Dada a função:
x
Vamos reescrever como:
y
Calculando partial fpartial x:
partial fpartial y
Calculando f(x, y) = raiz4 - x - y^3 :
f(x, y) = (4 - x - y^3)^1/2
Então, o gradiente partial fpartial x é:
partial fpartial x = 12(4 - x - y^3)^-1/2 cdot (-1) = -12raiz4 - x - y^3

Passo 4

A derivada direcional de $ f $ na direção de f é dada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ com o vetor direção u.
Ou seja:
f
Substituindo o gradiente e o vetor u:
Duf = nabla f cdot u

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
Duf = ( -12raiz4 - x - y^3 cdot -35 ) + ( -3y^22raiz4 - x - y^3 cdot 45 )
Simplificando cada termo:
= 310raiz4 - x - y^3 + -12y^210raiz4 - x - y^3
= 3 - 12y^210raiz4 - x - y^3

Resposta

A derivada direcional de $ f $ na direção do vetor f é:
u

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