queremos saber se f é diferenciável em ℝ². O assunto envolve derivadas parciais e o teste de diferenciabilidade em um ponto.
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0): f é razão de funções polinomiais cujo denominador nunca se anula. Isso significa que f é C^∞ em ℝ²{(0,0)}, logo diferenciável em todos os pontos diferentes da origem.
Passo 3
No ponto (0,0), primeiro calculamos as derivadas parciais pelo limite. Para a derivada em relação a x:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0h^3/h^2h=1
E para y:
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00k=0
O candidato a diferencial linear em (0,0) é L(x,y)=x.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de diferenciabilidade em (0,0): seja R(x,y)=f(x,y)-L(x,y). Então
R(x,y)=x^3x^2+y^2-x=-x,y^2x^2+y^2
Em coordenadas polares, x=r\cosθ e y=r\sinθ, temos
R(r,θ)=-rcosθsin^2θ
Logo
|R(r,θ)|r=|cosθsin^2θ|,
que depende de θ e não tende a zero quando r→0.
Passo 5
Conclusão: como R(x,y)/raizx^2+y^2 não vai a zero uniformemente em todas as direções, f não é diferenciável em (0,0). Portanto f é diferenciável em todos os pontos com (x,y)neq(0,0), mas não em (0,0).
Resposta
A função não é diferenciável em (0,0) e, portanto, não é diferenciável em todo R^2; ela é diferenciável apenas em (x,y)neq(0,0).