A função f: R^2 R dada por
f(x, y)=ll x^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
é diferenciável em R^2 ? Justifique!

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x,y)=dfracx^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
queremos saber se f é diferenciável em ℝ². O assunto envolve derivadas parciais e o teste de diferenciabilidade em um ponto.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0): f é razão de funções polinomiais cujo denominador nunca se anula. Isso significa que f é C^∞ em ℝ²{(0,0)}, logo diferenciável em todos os pontos diferentes da origem.

Passo 3

No ponto (0,0), primeiro calculamos as derivadas parciais pelo limite. Para a derivada em relação a x:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0h^3/h^2h=1
E para y:
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00k=0
O candidato a diferencial linear em (0,0) é L(x,y)=x.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de diferenciabilidade em (0,0): seja R(x,y)=f(x,y)-L(x,y). Então
R(x,y)=x^3x^2+y^2-x=-x,y^2x^2+y^2
Em coordenadas polares, x=r\cosθ e y=r\sinθ, temos
R(r,θ)=-rcosθsin^2θ
Logo
|R(r,θ)|r=|cosθsin^2θ|,
que depende de θ e não tende a zero quando r→0.

Passo 5

Conclusão: como R(x,y)/raizx^2+y^2 não vai a zero uniformemente em todas as direções, f não é diferenciável em (0,0). Portanto f é diferenciável em todos os pontos com (x,y)neq(0,0), mas não em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0) e, portanto, não é diferenciável em todo R^2; ela é diferenciável apenas em (x,y)neq(0,0).

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