Considere a função f(x, y)=raiz4-x-y^3. Determine:
(a) A equaçāo do plano tangente e da reta normal a superficie no ponto (-5,2, f(-5,2));

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x - y^3} $ e precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dessa função no ponto f(x, y) = raiz4 - x - y^3 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar as inclinações do plano tangente, e então montar as equações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(-5, 2) $. Substituindo os valores na função:
f(-5, 2)
Então, o ponto de interesse é f(-5, 2) = raiz4 - (-5) - (2)^3 = raiz4 + 5 - 8 = raiz1 = 1 .

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dão a inclinação do plano tangente nas direções de $ x $ e $ y $.
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a $ x $:
f
Depois, a derivada parcial em relação a $ y $:
x

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto (-5, 2):
Para $ f_x(-5, 2) $:
fx(-5, 2)
Para $ f_y(-5, 2) $:
fx(-5, 2) = -12raiz4 - (-5) - (2)^3 = -12raiz9 - 8 = -12cdot1 = -12

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo $ a = -5 $, $ b = 2 $, $ f(a, b) = 1 $, $ f_x(a, b) = -\frac{1}{2} $ e $ f_y(a, b) = -6 $:
a = -5
Simplificando:
b = 2
f(a, b) = 1

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal à superfície no ponto (-5, 2, 1), usamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $. O vetor normal é então $ \vec{n} = \left( f_x, f_y, -1 \right) = \left( -\frac{1}{2}, -6, -1 \right) $.
A equação paramétrica da reta normal passa pelo ponto fx e tem direção dada pelo vetor $ \vec{n} $. Então, as equações paramétricas são:
fy
n = ( fx, fy, -1 ) = ( -12, -6, -1 )
(-5, 2, 1)

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = -\frac{1}{2}x - 6y + \frac{15}{2} $ e a reta normal à superfície no ponto z = -12x - 6y + 152 é dada por:
(-5, 2, 1)

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