Considere a função
. Determine:
(a) A equaçāo do plano tangente e da reta normal a superficie no ponto
;
(a) A equaçāo do plano tangente e da reta normal a superficie no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x - y^3} $ e precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dessa função no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar as inclinações do plano tangente, e então montar as equações necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(-5, 2) $. Substituindo os valores na função:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dão a inclinação do plano tangente nas direções de $ x $ e $ y $.
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a $ x $:
Depois, a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Para $ f_x(-5, 2) $:
Para $ f_y(-5, 2) $:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo $ a = -5 $, $ b = 2 $, $ f(a, b) = 1 $, $ f_x(a, b) = -\frac{1}{2} $ e $ f_y(a, b) = -6 $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal à superfície no ponto
, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $. O vetor normal é então $ \vec{n} = \left( f_x, f_y, -1 \right) = \left( -\frac{1}{2}, -6, -1 \right) $.
A equação paramétrica da reta normal passa pelo ponto
e tem direção dada pelo vetor $ \vec{n} $. Então, as equações paramétricas são:
Resposta
A equação do plano tangente é $ z = -\frac{1}{2}x - 6y + \frac{15}{2} $ e a reta normal à superfície no ponto
é dada por: