Resolva a equação:
(1+x^2) y^prime+x y+(1+x^2)^52=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
(1 + x^2) y^prime + x y + (1 + x^2)^52 = 0
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação, identificar os coeficientes, encontrar um fator integrante e, por fim, resolver para $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação numa forma mais amigável, isolando $ y’ $. Dividimos todos os termos por $ 1 + x^{2} $:
y'
Agora, a equação está no formato padrão de uma equação linear:
1 + x^2
onde:
y' + x1 + x^2 y + (1 + x^2)^32 = 0

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Esse fator nos ajuda a transformar a equação em algo que pode ser integrado facilmente. A fórmula para o fator integrante é:
mu(x)
Vamos calcular essa integral:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Podemos usar uma substituição simples: deixe $ u = 1 + x^{2} $, então $ du = 2x , dx $, ou seja, $ \frac{du}{2} = x , dx $. Assim:
integral x1 + x^2 , dx
Logo, o fator integrante é:
u = 1 + x^2

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação pela $ \mu(x) $:
mu(x)
Isso transforma a equação em:
raiz1 + x^2 cdot y' + xraiz1 + x^2 y = - (1 + x^2)^2
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
ddx ( y cdot raiz1 + x^2 ) = - (1 + x^2)^2

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral (1 + x^2)^2 , dx = integral (1 + 2x^2 + x^4) , dx = x + 23x^3 + 15x^5 + C
Portanto, temos:
y cdot raiz1 + x^2 = - ( x + 23x^3 + 15x^5 ) + C
Isolando $ y $:
y

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = - ( x + 23x^3 + 15x^5 ) + C raiz1 + x^2
onde $ C $ é a constante de integração.

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