Resolva a equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação, identificar os coeficientes, encontrar um fator integrante e, por fim, resolver para $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação numa forma mais amigável, isolando $ y’ $. Dividimos todos os termos por $ 1 + x^{2} $:
Agora, a equação está no formato padrão de uma equação linear:
onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Esse fator nos ajuda a transformar a equação em algo que pode ser integrado facilmente. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular essa integral:
Podemos usar uma substituição simples: deixe $ u = 1 + x^{2} $, então $ du = 2x , dx $, ou seja, $ \frac{du}{2} = x , dx $. Assim:
Logo, o fator integrante é:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação pela $ \mu(x) $:
Isso transforma a equação em:
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Portanto, temos:
Isolando $ y $:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde $ C $ é a constante de integração.