Resolva a equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ = e^{x - 2y} $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que é bom quando conseguimos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação. A equação original é:
Podemos reescrever o lado direito usando propriedades dos exponentes:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, trazemos todos os termos que envolvem $ y $ para um lado e os que envolvem $ x $ para o outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por $ e^{2y} $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de $ e^{2y} , dy $ e a integral de $ e^{x} , dx $ são:
Vamos resolver cada integral.
Passo 5
Primeiro, integramos $ e^{2y} , dy $:
Onde $ C_1 $ é a constante de integração.
Agora, integraremos $ e^{x} , dx $:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 6
Igualando as integrais, temos:
Podemos simplificar isso juntando as constantes:
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma nova constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Aqui, $ C’ = 2C $ é apenas uma outra constante, mas ainda representando a constante de integração.
Passo 8
Para isolar $ y $, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Finalmente, dividimos por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.