Resolva a equação:
y^prime=e^x-2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ = e^{x - 2y} $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que é bom quando conseguimos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação. A equação original é:
dydx = e^x - 2y
Podemos reescrever o lado direito usando propriedades dos exponentes:
e^x - 2y = e^x cdot e^-2y
Então, temos:
dydx = e^x cdot e^-2y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, trazemos todos os termos que envolvem $ y $ para um lado e os que envolvem $ x $ para o outro:
y
Aqui, multiplicamos ambos os lados por $ e^{2y} $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de $ e^{2y} , dy $ e a integral de $ e^{x} , dx $ são:
e^2y , dy
Vamos resolver cada integral.

Passo 5

Primeiro, integramos $ e^{2y} , dy $:
e^2y , dy
Onde $ C_1 $ é a constante de integração.
Agora, integraremos $ e^{x} , dx $:
integral e^2y , dy = 12 e^2y + C1
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 6

Igualando as integrais, temos:
12 e^2y + C1 = e^x + C2
Podemos simplificar isso juntando as constantes:
12 e^2y = e^x + C
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma nova constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
y
Aqui, $ C’ = 2C $ é apenas uma outra constante, mas ainda representando a constante de integração.

Passo 8

Para isolar $ y $, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
y
Finalmente, dividimos por 2:
2y = ln(2 e^x + C')

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 12 ln(2 e^x + C)
Onde $ C $ é a constante de integração.

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