Considere a função
.
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de
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(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
O enunciado pede para achar o domínio e o conjunto‐imagem da função de duas variáveis definida por
f(x,y)=\sqrt{x{2}+y{2}}-1
Aqui o conteúdo é funções reais de duas variáveis, domínio determinado pelas restrições da raiz quadrada e imagem pelos valores que f pode assumir.
Passo 2
Para encontrar o domínio, note que a raiz quadrada exige que o argumento seja não‐negativo. Como para todo par (x,y) em
temos
essa condição é sempre satisfeita. Logo, o domínio é
Passo 3
Para achar o conjunto‐imagem, defina
Então f(x,y)=r-1. Como
[f(x,y)\ge -1.$$
Além disso, para qualquer valor
basta escolher
e pontos (x,y) com
(por exemplo (r,0)), mostrando que todo
é atingido. Portanto o conjunto‐imagem é
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.