Considere a função f(x, y)=raizx^2+y^2-1.
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio e o conjunto‐imagem da função de duas variáveis definida por
f(x,y)=\sqrt{x{2}+y{2}}-1
Aqui o conteúdo é funções reais de duas variáveis, domínio determinado pelas restrições da raiz quadrada e imagem pelos valores que f pode assumir.

Passo 2

Para encontrar o domínio, note que a raiz quadrada exige que o argumento seja não‐negativo. Como para todo par (x,y) em R^2 temos
x^2+y^2>=0
essa condição é sempre satisfeita. Logo, o domínio é
R^2

Passo 3

Para achar o conjunto‐imagem, defina
r=raizx^2+y^2$$
Então f(x,y)=r-1. Como Então f(x,y)=r-1 Como $r>=0$, concluímos que [f(x,y)>= -1, concluímos que
[f(x,y)\ge -1.$$
Além disso, para qualquer valor t>= -1 basta escolher r=t+1 e pontos (x,y) com raizx^2+y^2=r (por exemplo (r,0)), mostrando que todo t>=-1 é atingido. Portanto o conjunto‐imagem é
[-1,infty)

Resposta

Domínio: R^2. Imagem: [-1,infty).

Exercícios relacionados