Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
6-2 x(1-x^2)(x-3)

Passo 1

A questão pede o domínio da função racional e suas assíntotas verticais e horizontais. O conteúdo envolve fatorar polinômios, cancelar fatores quando possível e estudar limites laterais para identificar assíntotas.

Passo 2

Vamos começar fatorando numerador e denominador. A função é
f(x)=6-2x(1-x^2)(x-3)

Passo 3

Reescrevendo o numerador e o denominador:
6-2x=-2(x-3),
1-x^2=-(x^2-1)=-(x-1)(x+1)

Passo 4

Então
f(x)=-2(x-3)-(x-1)(x+1)(x-3)=2(x-1)(x+1), xneqpm1,,3

Passo 5

Agora determinamos o domínio: todos os valores de x que não anulam o denominador original. Assim
Dom(f)= Rsetminus-1,,1,,3

Passo 6

Para assíntotas verticais, examinamos onde o denominador simplificado se anula e o numerador não anula: são x=1 e x=-1. Nesses pontos
limxto1^pmf(x)=pminftyelimxto(-1)^pmf(x)=pminfty,

Passo 7

logo as assíntotas verticais são
x=1e x=-1

Passo 8

Para assíntota horizontal, estudamos xtoinfty e xto-infty. Como a função simplificada é f(x)=2/(x^2-1), temos
limxtopminftyf(x)=0

Passo 9

Portanto, a assíntota horizontal é y=0.

Resposta

Domínio: Rsetminus-1,1,3. Assíntotas verticais: x=-1 e x=1. Assíntota horizontal: y=0.

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