Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente esboçar o gráfico da função dada, determinar seu domínio e imagem, além de verificar se ela é limitada (acima ou abaixo) e se possui máximos ou mínimos globais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções por partes, domínio, imagem, limitada e extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essa função funciona. A função está definida por duas partes:
Isso significa que para qualquer valor de $ x $ que seja menor ou igual a 3, o valor de $ f(x) $ será -2. Já para valores de $ x $ maiores que 3, $ f(x) $ será 2.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função. No plano cartesiano:
- Para $ x \leq 3 $, desenhamos uma linha horizontal no nível $ y = -2 $.
- Para $ x > 3 $, desenhamos outra linha horizontal no nível $ y = 2 $.
No ponto $ x = 3 $, a função assume o valor -2, então colocamos um círculo preenchido em $ (3, -2) $. Já para $ x > 3 $, como a função é maior que 3 e o valor é 2, colocamos um círculo aberto em $ x = 3 $ para indicar que 3 não está incluído nessa parte.
Passo 4
Vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Observando a função:
Isso cobre todos os números reais, então o domínio é:
Passo 5
Agora, vamos identificar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Vendo a definição da função:
Portanto, a imagem é:
Passo 6
Vamos verificar se a função é limitada. Uma função é limitada se existe algum número que seja maior (limite superior) e outro que seja menor (limite inferior) do que a função assume.
- Limite superior: 2
- Limite inferior: -2
Como a função nunca ultrapassa esses valores, ela é limitada tanto acima quanto abaixo.
Passo 7
Por fim, vamos ver se a função possui máximos ou mínimos globais.
- Máximo global: O maior valor que a função atinge. Aqui, $ f(x) = 2 $ é o máximo global.
- Mínimo global: O menor valor que a função atinge. Aqui, $ f(x) = -2 $ é o mínimo global.
Resposta
A função $ f(x) $ tem domínio em todos os números reais ($ \mathbb{R} $) e imagem nos valores
e
. No gráfico, ela consiste em duas linhas horizontais: uma em $ y = -2 $ para $ x \leq 3 $ e outra em $ y = 2 $ para $ x > 3 $. A função é limitada superiormente por $ 2 $ e inferiormente por
. Além disso, possui um máximo global em $ y = 2 $ e um mínimo global em $ y = -2 $.