faça um esboço do mapa de contorno da função f, mostrando as curvas de nível de f nos números dados.
A função f para a qual f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) em 8,6,4,2 e 0 .

Passo 1

O enunciado pede um esboço do mapa de contorno (curvas de nível) da função f para os níveis 8,6,4,2 e 0.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • Devem ser desenhadas as curvas de nível correspondentes aos valores \,8,\,6,\,4,\,2 e \,0.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática e simples).
  • Uma curva de nível para um valor c é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem \,f(x,y)=c.
  • Em palavras: é o contorno no plano onde a função tem valor constante c. Na prova, você só precisa escrever a equação desse conjunto e desenhar a forma geométrica correspondente.

Passo 3

Escrever a equação geral das curvas de nível para a nossa função. Colocamos f(x,y)=c e resolvemos:
\dfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=c
Multiplicando por 2:
x^{2}+y^{2}=2c.
Isto significa que, para cada nível c, a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
r=\sqrt{2c}.
Observação didática: a variável c representa o valor constante da função ao longo da curva; x e y são coordenadas no plano; r é a distância ao centro (origem).

Passo 4

Calcular explicitamente as curvas (equação dos círculos) e os raios para cada valor pedido.
  • Para c=8:
x^{2}+y^{2}=2\cdot 8=16,\qquad r=\sqrt{16}=4.
  • Para c=6:
x^{2}+y^{2}=2\cdot 6=12,\qquad r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3,464.
  • Para c=4:
x^{2}+y^{2}=2\cdot 4=8,\qquad r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,828.
  • Para c=2:
x^{2}+y^{2}=2\cdot 2=4,\qquad r=\sqrt{4}=2.
  • Para c=0:
x^{2}+y^{2}=0,\qquad r=0,
ou seja, apenas o ponto (0,0).

Passo 5

Como esboçar o mapa de contorno passo a passo (instrutivo, para fazer à mão na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem (0,0).
  2. No eixo x marque os pontos x=2,\;x=2\sqrt{2}\approx2,828,\;x=2\sqrt{3}\approx3,464,\;x=4. Esses valores são os raios das circunferências; use-os como referência no eixo horizontal (também servirão no eixo vertical, por simetria).
  3. Desenhe círculos concêntricos centrados na origem com raios, do menor para o maior: 0 (ponto), 2, 2\sqrt{2}, 2\sqrt{3}, 4. Cada círculo representa respectivamente os níveis 2,4,6,8 (o nível 0 é o ponto).
  4. Identifique/rotule cada círculo com o valor do nível correspondente ( 2,4,6,8) para ficar claro no mapa.
    Dica prática: desenhe primeiro o círculo de raio 2 (fácil), depois use compasso ou compare distâncias para os demais; todos são concêntricos, então ficam com o mesmo centro.

Passo 6

Interpretação rápida para lembrar na prova (motivação e verificação):
  • A função é radial (depende só de x^{2}+y^{2}), então as curvas de nível são círculos centrados na origem.
  • À medida que o valor do nível c aumenta, o raio cresce como \sqrt{2c}.
  • O gradiente \nabla f(x,y)=(x,y) aponta radialmente para fora e é perpendicular às curvas de nível — isso é útil se pedirem direção de máximo crescimento.

Resposta

\begin{aligned} f(x,y)=8 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=16,\quad r=4;\\[4pt] f(x,y)=6 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=12,\quad r=2\sqrt{3}\approx 3,464;\\[4pt] f(x,y)=4 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=8,\quad r=2\sqrt{2}\approx 2,828;\\[4pt] f(x,y)=2 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4,\quad r=2;\\[4pt] f(x,y)=0 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=0,\quad r=0\\ (\text{o ponto }(0,0)). \end{aligned}]

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