faça um esboço do mapa de contorno da função
, mostrando as curvas de nível de
nos números dados.
A função
para a qual
em
e 0 .
A função
Passo 1
O enunciado pede um esboço do mapa de contorno (curvas de nível) da função
para os níveis
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Devem ser desenhadas as curvas de nível correspondentes aos valores
e .
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática e simples).
- Uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos que satisfazem . - Em palavras: é o contorno no plano onde a função tem valor constante
. Na prova, você só precisa escrever a equação desse conjunto e desenhar a forma geométrica correspondente.
Passo 3
Escrever a equação geral das curvas de nível para a nossa função. Colocamos
e resolvemos:
Multiplicando por
:
Isto significa que, para cada nível
, a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
Observação didática: a variável
representa o valor constante da função ao longo da curva;
e
são coordenadas no plano;
é a distância ao centro (origem).
Passo 4
Calcular explicitamente as curvas (equação dos círculos) e os raios para cada valor pedido.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
ou seja, apenas o ponto
.
Passo 5
Como esboçar o mapa de contorno passo a passo (instrutivo, para fazer à mão na prova):
- Desenhe os eixos
e e marque a origem . - No eixo
marque os pontos . Esses valores são os raios das circunferências; use-os como referência no eixo horizontal (também servirão no eixo vertical, por simetria). - Desenhe círculos concêntricos centrados na origem com raios, do menor para o maior:
(ponto), , , , . Cada círculo representa respectivamente os níveis (o nível é o ponto). - Identifique/rotule cada círculo com o valor do nível correspondente (
) para ficar claro no mapa.
Dica prática: desenhe primeiro o círculo de raio(fácil), depois use compasso ou compare distâncias para os demais; todos são concêntricos, então ficam com o mesmo centro.
Passo 6
Interpretação rápida para lembrar na prova (motivação e verificação):
- A função é radial (depende só de
), então as curvas de nível são círculos centrados na origem. - À medida que o valor do nível
aumenta, o raio cresce como . - O gradiente
aponta radialmente para fora e é perpendicular às curvas de nível — isso é útil se pedirem direção de máximo crescimento.