Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices , e , se a função densidade é .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices em (0,0), (1,0) e (0,2). A função densidade é dada por . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais duplas, para calcular a massa e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a massa da lâmina. A massa é obtida integrando a função densidade sobre toda a área da lâmina. Isso fica assim:
Aqui, é a área do triângulo.
Passo 3
Agora, precisamos descrever a região de integração, que é o nosso triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,2). Vamos traçar os limites de e :
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 até a linha que conecta (1,0) a (0,2). A equação dessa linha é .
Então, nossos limites de integração são:
Passo 4
Vamos agora montar a integral para a massa:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Substituindo os limites:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão:
E:
Somando as duas partes:
Passo 6
Agora, a integral para a massa fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Pronto, agora temos a massa:
M = 83
Passo 8
Agora vamos calcular o centro de massa barx = 1M integral duplalimitsA x rho(x, y) , dA bary = 1M integral duplalimitsA y rho(x, y) , dA . As fórmulas são:
Passo 9
Vamos começar com barx = 1M integral0^1 integral0^2 - 2x x(1 + 3x + y) , dy , dx :