Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é rho(x, y)=1+3 x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices em (0,0), (1,0) e (0,2). A função densidade é dada por . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais duplas, para calcular a massa e as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a massa da lâmina. A massa M = integral duplalimitsA rho(x, y) , dA é obtida integrando a função densidade sobre toda a área da lâmina. Isso fica assim:
Aqui, é a área do triângulo.

Passo 3

Agora, precisamos descrever a região de integração, que é o nosso triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,2). Vamos traçar os limites de 0 <= x <= 1 0 <= y <= 2 - 2x e :
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 até a linha que conecta (1,0) a (0,2). A equação dessa linha é .
Então, nossos limites de integração são:

Passo 4

Vamos agora montar a integral para a massa:
M = integral0^1 integral0^2 - 2x (1 + 3x + y) , dy , dx
Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^2 - 2x (1 + 3x + y) , dy = [ (1 + 3x)y + 12y^2 ]0^2 - 2x :
(1 + 3x)(2 - 2x) + 12(2 - 2x)^2
Substituindo os limites:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão:
(1 + 3x)(2 - 2x) = 2 - 2x + 6x - 6x^2 = 2 + 4x - 6x^2
E:
12(2 - 2x)^2 = 12(4 - 8x + 4x^2) = 2 - 4x + 2x^2
Somando as duas partes:
2 + 4x - 6x^2 + 2 - 4x + 2x^2 = 4 - 4x^2

Passo 6

Agora, a integral para a massa fica:
M = integral0^1 (4 - 4x^2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 4 , dx - integral0^1 4x^2 , dx = 4x |0^1 - 43x^3 |0^1 = 4(1) - 43(1) = 4 - 43 = 83

Passo 7

Pronto, agora temos a massa:
M = 83

Passo 8

Agora vamos calcular o centro de massa barx = 1M integral duplalimitsA x rho(x, y) , dA bary = 1M integral duplalimitsA y rho(x, y) , dA . As fórmulas são:

Passo 9

Vamos começar com barx = 1M integral0^1 integral0^2 - 2x x(1 + 3x + y) , dy , dx :
integral0^2 - 2x x(1 + 3x + y) , dy = x [ (1 + 3x)y + 12y^2 ]0^2 - 2x
Primeiro, integramos em relação a x [ (1 + 3x)(2 - 2x) + 12(2 - 2x)^2 ] = x(4 - 4x^2) :
barx = 183 integral0^1 (4x - 4x^3) , dx = 38 [ 2x^2 - x^4 ]0^1 = 38(2 - 1) = 38
Substituindo:
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, vamos calcular bary = 1M integral0^1 integral0^2 - 2x y(1 + 3x + y) , dy , dx :
integral0^2 - 2x y(1 + 3x + y) , dy = integral0^2 - 2x y + 3xy + y^2 , dy = [ 12y^2 + 3x2y^2 + 13y^3 ]0^2 - 2x
Integrando em relação a 12(2 - 2x)^2 + 3x2(2 - 2x)^2 + 13(2 - 2x)^3 :
12(4 - 8x + 4x^2) + 3x2(4 - 8x + 4x^2) + 13(8 - 24x + 24x^2 - 8x^3) = 2 - 4x + 2x^2 + 6x - 12x^2 + 6x^3 + 83 - 8x + 8x^2 - 83x^3 = (2 + 83) + (-4x + 6x - 8x) + (2x^2 - 12x^2 + 8x^2) + (6x^3 - 83x^3) = 143 - 6x - 2x^2 + 103x^3
Substituindo:
Simplificando:

Passo 11

Voltando à integral de bary = 38 integral0^1 ( 143 - 6x - 2x^2 + 103x^3 ) , dx = 38 [ 143x - 3x^2 - 23x^3 + 1012x^4 ]0^1 = 38 ( 143 - 3 - 23 + 56 ) = 38 ( 14 - 9 - 2 + 2.53 ) = 38 ( 5.53 ) = 38 times 116 = 3348 = 1116 :

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa, e o centro de massa está no ponto .

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