Considere a função f(x, y)=x^2+y^2+1. Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o domínio e o conjunto imagem da função de duas variáveis f(x,y)=x^2+y^2+1. O conteúdo é funções de várias variáveis e precisamos lembrar o que é domínio (conjunto de entradas possíveis) e imagem (conjunto de valores que a função pode assumir).

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que f é dada por um polinômio em x e y. Polinômios em variáveis reais estão bem definidos para todo par (x,y) em R^2. Logo, o domínio de f é
R^2

Passo 3

Agora, para a imagem, note que x^2 e y^2 são sempre maiores ou iguais a zero. Então
x^2+y^2>= 0Longrightarrow x^2+y^2+1>=1
Além disso, para qualquer valor t>=1, podemos escolher x^2+y^2=t-1 (por exemplo x=raizt-1, y=0) e obter f(x,y)=t. Isso mostra que todos os valores a partir de 1 são atingidos. Portanto, o conjunto imagem é
[1,infty)

Resposta

Domínio: R^2 Imagem: [1,infty)

Exercícios relacionados