Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
,
é o triângulo com vértices
e
Passo 1
A gente quer calcular a integral de linha
onde
e
é o triângulo com vértices
. O conteúdo aqui é o Teorema de Stokes, que diz que essa integral de linha é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre qualquer superfície
que tenha
como contorno, orientada de forma compatível.
Passo 2
Vamos primeiro calcular o rotacional de
. Usando a definição
, obtemos
Passo 3
Agora escolhemos como superfície
o próprio triângulo no plano que passa por
. A equação desse plano é
, ou seja
Para aplicar Stokes, usamos o elemento de área vetorial
, que aponta para cima (coerente com a orientação anti-horária de
vista de cima).
Passo 4
Pela fórmula de Stokes,
No interior temos
e como
isso vira
Passo 5
A região
em
é o triângulo com vértices
, ou seja
. Então fazemos
Calculando em duas etapas:
o integral interna em dá
e a integral em
de 0 a 1 dá
o integral interna em