Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
F(x, y, z)=z^2 i+y^2 j+x y k,
C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,2)

Passo 1

A gente quer calcular a integral de linha integralC Fcdot d r onde F(x,y,z)=(z^2,y^2,xy) e C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0),(0,0,2). O conteúdo aqui é o Teorema de Stokes, que diz que essa integral de linha é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre qualquer superfície S que tenha C como contorno, orientada de forma compatível.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o rotacional de F. Usando a definição nablatimes F=(partialyFz-partialzFy,;partialzFx-partialxFz,;partialxFy-partialyFx), obtemos
nablatimes F=(x,,2z-y,,0)

Passo 3

Agora escolhemos como superfície S o próprio triângulo no plano que passa por (1,0,0),(0,1,0),(0,0,2). A equação desse plano é 2x+2y+z=2, ou seja
z=2-2x-2y
Para aplicar Stokes, usamos o elemento de área vetorial d S=( -partialxz, -partialyz,1)dA=(2,2,1)dA, que aponta para cima (coerente com a orientação anti-horária de C vista de cima).

Passo 4

Pela fórmula de Stokes,
integralC Fcdot d r=integral duplaS(nablatimes F)cdot d S =integral duplaD(nablatimes F)(x,y,z(x,y))cdot(2,2,1),dA
No interior temos
(nablatimes F)cdot(2,2,1)=2x+2(2z-y)+0=2x+4z-2y
e como z=2-2x-2y isso vira
2x+4(2-2x-2y)-2y=-6x-10y+8

Passo 5

A região D em (x,y) é o triângulo com vértices (1,0),(0,1),(0,0), ou seja x>=0,y>=0,x+y<=1. Então fazemos
integralx=0^1integraly=0^1-x(-6x-10y+8),dy,dx
Calculando em duas etapas:
o integral interna em y x^2-4x+3 e a integral em x de 0 a 1 dá
integral0^1(x^2-4x+3)dx=13-2+3=43

Resposta

43

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