Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
na região
do plano xy.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de máximo e mínimo absolutos da função
na região fechada e limitada
. Vamos usar otimização em domínios compactos: primeiro achamos pontos críticos no interior, depois estudamos o contorno.
Passo 2
No interior de
calculamos o gradiente:
Igualando a zero,
e
. Esse é o único ponto crítico interno. Avaliando
.
Passo 3
No contorno, temos
. Parametrizamos por ângulo
:
Substituindo em
:
Como
varia entre
e
, obtemos
Os pontos onde ocorrem são:
em
(ou seja
) e
em
(ou seja
).
Passo 4
Comparando com o valor interno
, vemos que
. Logo o máximo absoluto ocorre no contorno valendo
e o mínimo absoluto vale
.
Resposta
O valor máximo absoluto de f em D é 1/2 e o valor mínimo absoluto é -1/2.