Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x, y)=x^2-y^22 na região D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1 do plano xy.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de máximo e mínimo absolutos da função f(x,y)=tfracx^2 - y^22 na região fechada e limitada D=(x,y)in R^2: x^2+y^2<=1. Vamos usar otimização em domínios compactos: primeiro achamos pontos críticos no interior, depois estudamos o contorno.

Passo 2

No interior de D calculamos o gradiente:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(x,-y)
Igualando a zero, x=0 e y=0. Esse é o único ponto crítico interno. Avaliando f(0,0)=0.

Passo 3

No contorno, temos x^2+y^2=1. Parametrizamos por ângulo theta:
x=costheta, y=sintheta
Substituindo em f:
f(costheta,sintheta)=cos^2theta-sin^2theta2=cos2theta2
Como cos2theta varia entre -1 e +1, obtemos
min f|contorno=-tfrac12, max f|contorno=tfrac12
Os pontos onde ocorrem são: cos2theta=1 em theta=0,pi (ou seja (pm1,0)) e cos2theta=-1 em theta=tfracpi2,tfrac3pi2 (ou seja (0,pm1)).

Passo 4

Comparando com o valor interno f(0,0)=0, vemos que tfrac12>0>-tfrac12. Logo o máximo absoluto ocorre no contorno valendo tfrac12 e o mínimo absoluto vale -tfrac12.

Resposta

O valor máximo absoluto de f em D é 1/2 e o valor mínimo absoluto é -1/2.

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