Seja a função f(x, y)=cccx y^5x^2+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
Determine partial fpartial x(x, y), partial fpartial y(x, y) para (x, y) neq(0,0)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos as derivadas parciais de f(x,y)=x,y^5x^2+y^4 para (x,y)neq(0,0). O conteúdo principal é a regra do quociente em funções de duas variáveis, que diz que se f=uv então
partial fpartial x = ux,v - u,vxv^2
e analogamente para partial/partial y.

Passo 2

Para partial f/partial x, defina
u(x,y)=x,y^5, v(x,y)=x^2+y^4
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partial fpartial x =y^5,(x^2+y^4) - x,y^5,(2x)(x^2+y^4)^2 =y^5l(x^2+y^4-2x^2r)(x^2+y^4)^2 =y^5(y^4-x^2)(x^2+y^4)^2

Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Para partial f/partial y, use novamente
partial fpartial y =5x,y^4,(x^2+y^4) - x,y^5,(4y^3)(x^2+y^4)^2 =5x^3y^4 +5x y^8 -4x y^8(x^2+y^4)^2 =x y^4(5x^2+y^4)(x^2+y^4)^2

Então


Pela regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais para (x,y)neq(0,0) são:
partial fpartial x(x,y)=y^5(y^4-x^2)(x^2+y^4)^2, partial fpartial y(x,y)=x,y^4(5x^2+y^4)(x^2+y^4)^2

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