Considere a função f(x, y)=x^2+y^2+2 x y-x-y+1 no quadrado 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.
Encontre o valor máximo absoluto de f no quadrado.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+y^2+2xy - x - y + 1 no quadrado definido por 0<= x<=1 e 0<= y<=1. O conteúdo é de extremos absolutos de funções de duas variáveis em domínio compacto. Para resolver, vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e depois avaliar o comportamento na borda.

Passo 2

No interior do quadrado, calculamos as derivadas parciais:
$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y-1,\
\frac{\partial f}{\partial y}=2x+2y-1.$$

Passo 3

Igualando-as a zero, obtemos
2x+2y-1=0implies x+y=tfrac12
Esse conjunto de pontos está dentro do quadrado. Substituindo em f, como s=x+y=tfrac12, temos
f= s^2 - s +1 =l(tfrac12r)^2 - tfrac12 +1 = tfrac34

Passo 4

Para a borda, note que f depende só de s=x+y. Definindo
f(s)=s^2 - s +1 = (s-tfrac12)^2 + tfrac34, vemos que, no quadrado, s varia de 0 (quando (x,y)=(0,0)) até 2 (quando (x,y)=(1,1)). Assim o valor máximo ocorre em s=2.
Em s=2 temos f(2)=4-2+1=3, ou seja o máximo absoluto de f no quadrado acontece em (1,1) com valor 3.

Resposta

O valor máximo absoluto de f no quadrado é 3, atingido em (1,1).

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