Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial dada.
Passo 1
Temos a equação diferencial
com condição inicial
. O conteúdo aqui é equação exata: precisamos verificar a exatidão e encontrar uma função potencial
.
Passo 2
Identificamos as funções
M(x,v)=x2+v2 e N(x,v)=2xv. Calculamos as derivadas parciais:
M(x,v)=x2+v2 e N(x,v)=2xv. Calculamos as derivadas parciais:
∂M/∂v=2v
∂N/∂x=2v
Como ∂M/∂v=∂N/∂x, a equação é exata.
Passo 3
Para obter a função potencial
, integramos
em relação a
:
Passo 4
Impondo
, temos:
Logo
, portanto
.
Passo 5
A solução implícita é
Aplicando
:
Assim
Passo 6
Para isolar
, escrevemos
e, escolhendo o sinal positivo para atender
,
Resposta
A solução explícita que satisfaz a condição inicial é