Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial dada.
(x^2+v^2) d x+2 x v d v=0: v(3)=1

Passo 1

Temos a equação diferencial (x^2+v^2),dx + 2xv,dv = 0 com condição inicial v(3)=1. O conteúdo aqui é equação exata: precisamos verificar a exatidão e encontrar uma função potencial Psi(x,v).

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,v)=x2+v2 e N(x,v)=2xv. Calculamos as derivadas parciais:
∂M/∂v=2v
∂N/∂x=2v
Como ∂M/∂v=∂N/∂x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter a função potencial Psi(x,v), integramos M em relação a x:
Psi(x,v)=integral (x^2+v^2),dx=x^33+xv^2+h(v)

Passo 4

Impondo partialPsi/partial v=N, temos:
partialPsipartial v=2xv+h'(v)=2xv
Logo h'(v)=0, portanto h(v)=C1.

Passo 5

A solução implícita é
x^33+xv^2=C
Aplicando v(3)=1:
273+3cdot1^2=9+3=12implies C=12
Assim
x^33+xv^2=12

Passo 6

Para isolar v, escrevemos
v^2=12-tfracx^33x=36-x^33x
e, escolhendo o sinal positivo para atender v(3)=1,
v(x)=raiz36-x^33x

Resposta

A solução explícita que satisfaz a condição inicial é
v(x)=raiz36-x^33x

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