Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
07. Esfera de raio r=a>0.

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular o volume do sólido que é uma esfera de raio a>0. O conteúdo utilizado será integração tripla e, mais especificamente, a escolha de coordenadas esféricas para simplificar o cálculo.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta e z=rhocosphi. O elemento de volume é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Vamos usar os limites: 0<=rho<= a, 0<=phi<=pi e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Montamos a integral tripla do volume:
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralrho=0^a rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Agora calculamos passo a passo:
  1. Integral em theta: integral0^2pidtheta=2pi.
  2. Integral em phi: integral0^pisinphi,dphi=2.
  3. Integral em rho: integral0^arho^2,drho=a^33.
    Multiplicando: V=2pitimes2timesa^33=4pi a^33.

Resposta

43,pi,a^3

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