Considere a função
f(x, y)=x^2+y^2+beta x y
com o parâmetro beta in R.
Verifique que a origem e um ponto crítico dessa função, para qualquer valor de beta.

Passo 1

Resumo: temos a função f(x,y)=x^2+y^2+beta x y. Isso é otimização de funções de duas variáveis, e para achar pontos críticos precisamos calcular o gradiente (derivadas parciais) e ver onde ele zera.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y)=2x+beta y
partial fpartial y(x,y)=2y+beta x

Passo 3

Avaliar no ponto (0,0). Substituindo x=0 e y=0 em cada derivada:
partial fpartial x(0,0)=2cdot0+betacdot0=0
partial fpartial y(0,0)=2cdot0+betacdot0=0

Passo 4

Como ambas as derivadas parciais são zero em (0,0) para qualquer beta, concluímos que a origem é ponto crítico.

Resposta

A origem (0,0) é ponto crítico de f para todo betainR.

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