Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x^3+y^2+beta x y na região (fechada e limitada) do plano delimitada pelo triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,0).

Passo 1

Resumo: precisamos encontrar os extremos globais de f(x,y)=x³+y²+βxy no triângulo fechado de vértices (0,0),(1,0),(0,1). O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em região compacta, e vamos usar: 1) pontos críticos internos (∇f=0), 2) análise em cada aresta (reduzir a função de uma variável), 3) comparação de valores nos candidatos (interior, arestas e vértices).

Passo 2

Derivadas parciais:
– ∂f/∂x = 3x² + βy
– ∂f/∂y = 2y + βx

Passo 3

Igualando zero vemos:
  1. 3x² + βy = 0 ⇒ y = −3x²/β (se β≠0)
  2. 2y + βx = 0 ⇒ y = −(β/2)x
    – Se x=0 então também y=0 ⇒ (0,0) é ponto crítico interno.
    – Se x≠0 igualamos as duas expressões de y e obtemos x = β²/6, y = −β³/12. Esse ponto só cai no triângulo se y≥0 (isto é β≤0) e x+y≤1 (verifica-se que para β≤0 sempre vale).

Passo 4

Função no interior:
– Em (0,0): f=0
– Em (β²/6,−β³/12):
f=-β^6432

Passo 5

Análise das arestas:
  1. Aresta x=0, y∈[0,1]:
    f(0,y)=y² ⇒ mínimos 0 em y=0, máximo 1 em y=1.
  2. Aresta y=0, x∈[0,1]:
    f(x,0)=x³ ⇒ mínimos 0 em x=0, máximo 1 em x=1.
  3. Aresta x+y=1 ⇒ y=1−x, x∈[0,1]. Definimos
g(x)=x^3+(1-x)^2+βx(1-x)

Passo 6

Derivando g:
g'(x)=3x^2+2(1-β)x+(β-2)=0,
cujas raízes são
x1,2=β-1pmraizβ^2-5β+73
Entre 0 e 1 cada raiz que cai no intervalo gera um candidato. Avaliamos g(x₁), g(x₂) e os extremos em x=0 e x=1 (que já vimos dar 1).

Passo 7

Comparação final:
O mínimo global é o menor valor entre
– 0 (em (0,0) ou ao longo das arestas x=0 ou y=0),
– −β⁶/432 (se β≤0, do ponto interno),
– g(x₁), g(x₂) (caso caiam em [0,1]),
O máximo global é o maior valor entre
– 1 (em (1,0),(0,1)),
– g(x₁), g(x₂) (caso caiam em [0,1]).

Resposta

Os extremos de f sobre o triângulo são dados pelos valores em: 1) vértices — f(0,0)=0, f(1,0)=1, f(0,1)=1; 2) ponto interno (só se β≤0) — f=−β⁶/432; 3) pontos críticos da aresta x+y=1 — x_{1,2}=(β−1±√(β²−5β+7))/3 com f=g(x_{1,2}). Assim
Mínimo = min{0, −β⁶/432 (se β≤0), g(x₁), g(x₂)},
Máximo = max{1, g(x₁), g(x₂)}.

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