Considere a função
Determine o domínio e a imagem de
Determine o domínio e a imagem de
Passo 1
Vamos estudar a função de duas variáveis definida por f(x,y)=x²+y², que é um exemplo clássico de função real de variáveis reais. O que a gente precisa é achar o domínio (onde a função faz sentido) e a imagem (todos os valores que ela pode assumir).
Passo 2
Para determinar o domínio, a gente lembra que domínio é o conjunto de pares (x,y) nos quais a expressão está bem definida. Aqui não temos divisão, nem raiz de índice par, nem logaritmo — só soma de quadrados de números reais. Quadrados de reais sempre existem, então f(x,y) está definida para qualquer x e qualquer y em ℝ.
Passo 3
Para achar a imagem, observamos que quadrados são sempre não negativos, então x²+y²≥0 para todo (x,y). Logo f(x,y) nunca pode dar número negativo. Agora, para mostrar que todo valor não negativo é realmente atingido, basta ver que, dado qualquer t≥0, podemos escolher (x,y)=(√t,0) e aí f(√t,0)=(√t)²+0²=t. Por isso a função assume exatamente todos os valores de 0 até +∞.
Resposta
O domínio é
e a imagem é
.