Considere a função f(x, y)=x^2+y^2
Determine o domínio e a imagem de f

Passo 1

Vamos estudar a função de duas variáveis definida por f(x,y)=x²+y², que é um exemplo clássico de função real de variáveis reais. O que a gente precisa é achar o domínio (onde a função faz sentido) e a imagem (todos os valores que ela pode assumir).

Passo 2

Para determinar o domínio, a gente lembra que domínio é o conjunto de pares (x,y) nos quais a expressão está bem definida. Aqui não temos divisão, nem raiz de índice par, nem logaritmo — só soma de quadrados de números reais. Quadrados de reais sempre existem, então f(x,y) está definida para qualquer x e qualquer y em ℝ.

Passo 3

Para achar a imagem, observamos que quadrados são sempre não negativos, então x²+y²≥0 para todo (x,y). Logo f(x,y) nunca pode dar número negativo. Agora, para mostrar que todo valor não negativo é realmente atingido, basta ver que, dado qualquer t≥0, podemos escolher (x,y)=(√t,0) e aí f(√t,0)=(√t)²+0²=t. Por isso a função assume exatamente todos os valores de 0 até +∞.

Resposta

O domínio é R^2 e a imagem é [0,infty).

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