Um fabricante pretende vender um novo produto por um preço unitário de
reais e estima que, se gastar
mil reais no desenvolvimento do produto e
mil reais em publicidade, os consumidores comprarão
unidades do produto. Expresse o lucro total em função de
e
, sabendo que o custo de fabricação do produto é de
por unidade.
Passo 1
O problema considera um fabricante que vai definir um preço de venda unitário de A reais e supõe que, ao investir x mil reais em desenvolvimento e y mil reais em publicidade, a quantidade vendida será dada por uma função de demanda. Precisamos montar a função lucro total, que é receita menos custo, em função de x e y.
Passo 2
A demanda estimada Q(x,y) é a soma de duas parcelas:
Passo 3
A receita R(x,y) advém do preço unitário multiplicado pela quantidade vendida. Logo:
Passo 4
O custo total C(x,y) é a soma do custo de fabricação das unidades mais os investimentos em desenvolvimento e publicidade. O custo de fabricação por unidade é R$50,00, e os investimentos são x e y mil reais, ou seja R$1000x e R$1000y. Portanto:
Passo 5
O lucro π(x,y) é a diferença entre receita e custo. Substituindo R e C e fatorando Q(x,y):