Um fabricante pretende vender um novo produto por um preço unitário de A reais e estima que, se gastar x mil reais no desenvolvimento do produto e y mil reais em publicidade, os consumidores comprarão 320 yy+2+160 xx+4 unidades do produto. Expresse o lucro total em função de x e y, sabendo que o custo de fabricação do produto é de R por unidade.

Passo 1

O problema considera um fabricante que vai definir um preço de venda unitário de A reais e supõe que, ao investir x mil reais em desenvolvimento e y mil reais em publicidade, a quantidade vendida será dada por uma função de demanda. Precisamos montar a função lucro total, que é receita menos custo, em função de x e y.

Passo 2

A demanda estimada Q(x,y) é a soma de duas parcelas:
Q(x,y) ,=, 320,yy+2 ; + ; 160,xx+4

Passo 3

A receita R(x,y) advém do preço unitário multiplicado pela quantidade vendida. Logo:
R(x,y) ,=, A times Q(x,y) ,=, A l(320,yy+2 + 160,xx+4r)

Passo 4

O custo total C(x,y) é a soma do custo de fabricação das unidades mais os investimentos em desenvolvimento e publicidade. O custo de fabricação por unidade é R$50,00, e os investimentos são x e y mil reais, ou seja R$1000x e R$1000y. Portanto:
50,00, e os investimentos são x e y mil reais, ou seja R

Passo 5

O lucro π(x,y) é a diferença entre receita e custo. Substituindo R e C e fatorando Q(x,y):
pi(x,y) ,=, R(x,y) - C(x,y) ,=, A,Q(x,y) - 50,Q(x,y) - (1000x + 1000y) ,=, (A - 50)l(320,yy+2 + 160,xx+4r) - 1000(x + y)

Resposta

pi(x,y) = (A - 50)l(320,yy+2 + 160,xx+4r) - 1000l(x + yr)

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