Calcule as integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função em três dimensões, lidando com os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a ordem das integrais: $ dz $, depois $ dy $, e finalmente $ dx $. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a $ z $, depois a $ y $, e por último a $ x $.
A função que estamos integrando é apenas $ x $, o que simplifica um pouco as coisas.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ z $. A integral interna é:
Aqui, $ x $ é tratado como uma constante em relação a $ z $, então a integração fica:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral em $ z $ na próxima integral, que é em relação a $ y $:
Vamos distribuir o $ x $:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada uma:
-
, onde $ a = \sqrt{4 - x^{2}} $ - $\int_{-a}^{a} 1 , dy = 2a $
- $\int_{-a}^{a} y^{2} , dy = \frac{2a^{3}}{3} $
Substituindo:
Passo 6
Simplificamos as expressões:
Fatorando $ x \cdot 2\sqrt{4 - x^{2}} $:
Calculando dentro dos parênteses:
Então, temos:
Passo 7
Agora, a integral fica reduzida a uma única variável $ x $:
Note que a função é ímpar em $ x $ (porque temos $ x $ multiplicando funções pares). Em integrais simétricas de
a
, se a função for ímpar, o resultado é zero.
Passo 8
Portanto, sem precisar calcular a integral, sabemos que:
Resposta
A integral tripla é igual a
.