Nos Problemas 21-24, use a integraçāo por partes (13) para calcular a integral dada. Escreva as respostas na a+i b.
integral0^i z sen z d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida integral0^i z sin z , dz usando o método de integração por partes. A matéria que estamos tocando aqui envolve cálculo de integrais, especificamente a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando temos uma integral que é o produto de duas funções e queremos simplificar a resolução dividindo essas funções de forma estratégica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv. No caso da nossa integral integral z sin z , dz, vamos escolher:
  • u = z ⇒  du = dz
  • dv = sin z , dz ⇒  v = -cos z

Passo 3

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral z sin z , dz = -z cos z - integral (-cos z) , dz
Simplificando a expressão:
integral z sin z , dz = -z cos z + integral cos z , dz

Passo 4

Vamos calcular a integral restante:
integral cos z , dz = sin z + C
Onde C é a constante de integração. Substituindo de volta na expressão anterior:
integral z sin z , dz = -z cos z + sin z + C

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a i, vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
integral0^i z sin z , dz = [-z cos z + sin z ]0^i = (-i cos i + sin i) - (-0 cdot cos 0 + sin 0)
Sabemos que sin 0 = 0 e cos 0 = 1, então a expressão fica:
integral0^i z sin z , dz = -i cos i + sin i

Resposta

A integral integral0^i z sin z , dz resulta em:
integral0^i z sin z , dz = sin i - i cos i = a + i b
Onde:
  • a = sin i
  • b = -cos i
Portanto, a resposta final é a + i b com a = sin i e b = -cos i.

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