Considere a função f(x, y)=2 x^2+y^2.
( 1,0 ponto) Descreva suas curvas de nível e esboce um mapa de contornos.

Passo 1

Estamos tratando da função f(x,y)=2x²+y², e o objetivo é encontrar as curvas de nível (f(x,y)=c) e desenhar seu mapa de contornos. Vamos usar o conceito de curva de nível de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para obter cada curva de nível basta igualar f(x,y) a uma constante c≥0. Assim temos: 2x²+y²=c.

Passo 3

Reescrevendo essa equação na forma padrão de uma elipse, dividimos tudo por c:
x^2c/2+y^2c=1,
Logo, cada curva de nível é uma elipse centrada na origem, com semieixo ao longo de x igual a a=raizc/2 e semieixo ao longo de y igual a b=raizc. À medida que c aumenta, as elipses ficam maiores, mantendo os eixos alinhados a Ox e Oy.

Passo 4

Para esboçar o mapa de contornos, escolha alguns valores de c (por exemplo 1, 2, 4) e desenhe as elipses correspondentes usando os semieixos acima. Todas são concêntricas e mais “esticadas” no eixo y (pois b>a).

Resposta

As curvas de nível de f são elipses centradas na origem definidas por 2x²+y²=c, com semieixos raizc/2 em x e raizc em y. O mapa de contornos é o conjunto dessas elipses concêntricas para diversos valores de c.

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