Considere a função
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( 1,0 ponto) Descreva suas curvas de nível e esboce um mapa de contornos.
( 1,0 ponto) Descreva suas curvas de nível e esboce um mapa de contornos.
Passo 1
Estamos tratando da função f(x,y)=2x²+y², e o objetivo é encontrar as curvas de nível (f(x,y)=c) e desenhar seu mapa de contornos. Vamos usar o conceito de curva de nível de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Para obter cada curva de nível basta igualar f(x,y) a uma constante c≥0. Assim temos: 2x²+y²=c.
Passo 3
Reescrevendo essa equação na forma padrão de uma elipse, dividimos tudo por c:
Logo, cada curva de nível é uma elipse centrada na origem, com semieixo ao longo de x igual a
Passo 4
Para esboçar o mapa de contornos, escolha alguns valores de c (por exemplo 1, 2, 4) e desenhe as elipses correspondentes usando os semieixos acima. Todas são concêntricas e mais “esticadas” no eixo y (pois b>a).
Resposta
As curvas de nível de f são elipses centradas na origem definidas por 2x²+y²=c, com semieixos
em x e
em y. O mapa de contornos é o conjunto dessas elipses concêntricas para diversos valores de c.