Calcule o limite, se existir.
lim x 2 x^2+5 x+4x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular o limite quando se aproxima de 2 da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Pra resolver, vamos precisar substituir o valor de e ver como a função se comporta perto de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2^2 + 5 times 2 + 42 - 2 = 4 + 10 + 40 = 180 por 2 direto na expressão:
Aí deu um probleminha, porque não dá pra dividir por zero. Isso significa que precisamos analisar melhor o que está acontecendo.

Passo 3

Quando temos uma divisão por zero, pode ser que o limite vá para mais infinito ( ) ou para menos infinito ( ), ou até que não exista limite. Vamos ver se conseguimos simplificar a expressão para entender melhor.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4) . Pra isso, procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão 5. Esses números são 1 e 4. Então:
(x + 1)(x + 4)x - 2
Agora nossa função fica:

Passo 5

Observamos que não tem um fator no numerador para cancelar com o denominador. Então, quando se aproxima de 2, o denominador está se aproximando de zero e o numerador está se aproximando de .

Passo 6

Agora, vamos analisar de qual lado está se aproximando de 2:
  • Pela direita (x > 2): O denominador é positivo, então a fração toda tende para .
  • Pela esquerda (x < 2): O denominador é negativo, então a fração toda tende para .
Como os limites laterais são diferentes ( e ), isso significa que o limite não existe de forma finita.

Resposta

O limite não existe.

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