Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=n(-1)^n

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a sequência an=n(-1)^n. O objetivo é verificar se ela é monótona (crescente, decrescente ou não monótona), se é limitada e se converge. Para isso, vamos usar as definições de sequência monótona, sequência limitada e convergência de sequência.

Passo 2

Para testar monotonicidade, comparamos an e an+1. Se n for par, an=n e an+1=-(n+1), portanto an+1. Se n for ímpar, an=-n e an+1=n+1, logo an+1>an. Como ora sobe, ora desce, a sequência não é nem crescente nem decrescente.

Passo 3

Para verificar se é limitada, examinamos o valor absoluto |an|=|n(-1)^n|=n. Como n cresce sem limite, não existe constante M tal que |an|<= M para todo n. Logo, a sequência não é limitada.

Passo 4

Para saber se converge, analisamos o comportamento de an quando ntoinfty. Como os termos alternam de sinal e seu módulo n cresce indefinidamente, não existe um valor L tal que anto L. Portanto, a sequência não converge.

Resposta

A sequência não é monótona (não é nem crescente nem decrescente), não é limitada e não é convergente.

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