Considere a função f(x, y) = x^3 - 3xy^2. Determine a natureza de cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^3-3xy^2 e pede para determinar a natureza de cada ponto crítico (se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^3-3xy^2.
  • A tarefa: achar todos os pontos críticos e classificar cada um (máx., mín. ou sela).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras para encontrar os pontos críticos. Lembrete prático: uma derivada parcial \partial f/\partial x é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo; similar para \partial f/\partial y.\n
Calculemos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^3-3xy^2\bigr)=3x^2-3y^2=3(x^2-y^2),
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^3-3xy^2\bigr)=-6xy.
Um ponto crítico é um ponto (x,y) onde f_x=0 e f_y=0 (ou onde alguma derivada não existe, o que não é o caso aqui).

Passo 3

Resolvendo o sistema f_x=0 e f_y=0:
3(x^2-y^2)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=y^2,
-6xy=0 \quad\Rightarrow\quad xy=0.
Da segunda equação xy=0 vem que ou x=0 ou y=0.
  • Se x=0, então x^2=y^2 0=y^2 e assim y=0.
  • Se y=0, então x^2=y^2 x^2=0 e assim x=0.
    Portanto a única solução é (0,0). Conclusão: há exatamente um ponto crítico, (0,0).

Passo 4

Tentar a classificação pelo teste das segundas derivadas (Hessiano). Primeiro calcule as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^2-3y^2)=6x,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-6xy)=-6x,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^2-3y^2)=-6y.
A matriz Hessiana é \begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\[4pt]f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}. O discriminante usado no teste clássico é
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2.
Avaliado em (0,0):
f_{xx}(0,0)=0,\quad f_{yy}(0,0)=0,\quad f_{xy}(0,0)=0,
logo
D(0,0)=0\cdot 0 - 0^2 = 0.
Quando D=0 o teste é inconclusivo — não dá para afirmar máximo, mínimo nem sela apenas com as segundas derivadas. Precisamos analisar termos de ordem superior (comportamento da função próximo ao ponto).]

Passo 5

Fazer análise direcional para ver se a função muda de sinal em direções diferentes (sinal trocando perto do ponto é sinal típico de ponto de sela). Uma maneira simples é restringir a f a retas que passam pela origem: tome y=m x com m constante e veja o comportamento quando x\to 0.\n
Substituindo y=mx em f:
f(x,mx)=x^3-3x(mx)^2=x^3-3x\cdot m^2 x^2 = x^3(1-3m^2).
Esse resultado é bem informativo: o sinal de f(x,mx) para x pequeno depende do fator 1-3m^2.
  • Se 1-3m^2>0 (isto é, m^2<\tfrac{1}{3}), então para x>0 pequeno temos f(x,mx)>0.
  • Se 1-3m^2<0 (isto é, m^2>\tfrac{1}{3}), então para x>0 pequeno temos f(x,mx)<0.
    Assim existem direções (valores de m) nas quais f é positiva arbitrariamente perto da origem e outras direções nas quais f é negativa arbitrariamente perto da origem. Isso significa que a origem não é nem máximo nem mínimo local: nas proximidades ela assume valores de ambos os sinais. Essa é exatamente a definição intuitiva de ponto de sela.\n
    Um exemplo concreto mais simples para ver a troca de sinais:
  • Na reta y=0 (ou seja m=0) vale f(x,0)=x^3, que é positivo para x>0 e negativo para x<0.
  • Na reta y=x (ou seja m=1) vale f(x,x)=x^3(1-3)= -2x^3, que tem sinal oposto para pequenos x de mesmo sinal. Esses dois exemplos já mostram que arbitrariamente perto de (0,0) a função assume valores positivos e negativos.

Passo 6

Conclusão: o único ponto crítico é (0,0) e, por causa da mudança de sinal em direções diferentes (analisada acima), (0,0) é um ponto de sela.

Resposta

(0,0) — ponto de sela

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