Considere a função
. Determine a natureza de cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a natureza de cada ponto crítico (se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A tarefa: achar todos os pontos críticos e classificar cada um (máx., mín. ou sela).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras para encontrar os pontos críticos. Lembrete prático: uma derivada parcial
é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo; similar para
.\n
Calculemos:
Calculemos:
Um ponto crítico é um ponto
onde
e
(ou onde alguma derivada não existe, o que não é o caso aqui).
Passo 3
Resolvendo o sistema
e
:
Da segunda equação
vem que ou
ou
.
- Se
, então dá e assim . - Se
, então dá e assim .
Portanto a única solução é. Conclusão: há exatamente um ponto crítico, .
Passo 4
Tentar a classificação pelo teste das segundas derivadas (Hessiano). Primeiro calcule as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é
. O discriminante usado no teste clássico é
Avaliado em
:
logo
Quando
o teste é inconclusivo — não dá para afirmar máximo, mínimo nem sela apenas com as segundas derivadas. Precisamos analisar termos de ordem superior (comportamento da função próximo ao ponto).]
Passo 5
Fazer análise direcional para ver se a função muda de sinal em direções diferentes (sinal trocando perto do ponto é sinal típico de ponto de sela). Uma maneira simples é restringir a
a retas que passam pela origem: tome
com
constante e veja o comportamento quando
.\n
Substituindo em
:
Substituindo
Esse resultado é bem informativo: o sinal de
para
pequeno depende do fator
.
- Se
(isto é, ), então para pequeno temos . - Se
(isto é, ), então para pequeno temos .
Assim existem direções (valores de) nas quais é positiva arbitrariamente perto da origem e outras direções nas quais é negativa arbitrariamente perto da origem. Isso significa que a origem não é nem máximo nem mínimo local: nas proximidades ela assume valores de ambos os sinais. Essa é exatamente a definição intuitiva de ponto de sela.\n
Um exemplo concreto mais simples para ver a troca de sinais: - Na reta
(ou seja ) vale , que é positivo para e negativo para . - Na reta
(ou seja ) vale , que tem sinal oposto para pequenos de mesmo sinal. Esses dois exemplos já mostram que arbitrariamente perto de a função assume valores positivos e negativos.
Passo 6
Conclusão: o único ponto crítico é
e, por causa da mudança de sinal em direções diferentes (analisada acima),
é um ponto de sela.