- A energia de um sistema de
íons magnéticos localizados, a temperatura
, na presença de um campo
, pode ser escrita na forma
onde os parâmetros
e
são positivos e
ou -1 , para qualquer sítio
. Obtenha expressões para a energia interna, a entropia e a magnetização por sítio. Para campo nulo (
), esboce gráficos da energia interna, da entropia e do calor específico contra a temperatura. Indique claramente o comportamento dessas grandezas nos limites
e
. Calcule o valor esperado do “momento de quadrupolo”,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos (sem resolver nada aqui).
-
Dados do problema:
- Sistema com
íons independentes, cada sítio com spin . - Hamiltoniano total
onde. - Temperatura
. Usarei , onde é a constante de Boltzmann.
- Sistema com
-
O que o enunciado pede:
- Obter expressões por sítio para a energia interna, a entropia e a magnetização.
- Para
: esboçar (descrever) graficamente contra a energia interna, a entropia e o calor específico; indicar comportamento nos limites e . - Calcular o valor esperado do momento de quadrupolo
Passo 2
Princípio básico e método: sistema não interagente (o Hamiltoniano é soma de termos por sítio), então tratamos um sítio e usamos a função de partição por sítio. Explico a ideia:
- A função de partição total é
. Para sítios independentes com a mesma contribuição por sítio, , onde é a função de partição de um sítio. - Para um sítio qualquer, os três estados possíveis são
. A contribuição energética de um sítio é . - Defino
Agora calculamos
.
Passo 3
Cálculo da função de partição por sítio
.
- Somamos as contribuições dos três estados:
- Avaliando termo a termo:
-
. -
. -
.
-
- Somando:
Também é útil anotar
.
Passo 4
Energia interna por sítio: definição e derivação passo a passo.
- Definição: energia média total
. Como , a energia por sítio é
- Calculo de
. Primeiro dependente de via e via . - Derivando
:
- Então
- Derivando
- Simplificando usando fator
: com
Observação didática: esse resultado vem diretamente da média ponderada dos energias dos estados
(o estado
tem energia
). A fórmula acima é a forma compacta que já dá a energia por sítio em função de
e
.
Passo 5
Magnetização por sítio: como obter e interpretar.
- Definição: magnetização total
. Por sítio
- Para sistemas de equilíbrio a média
pode ser obtida diretamente da função de partição por diferenciação em respeito ao campo conjugado: . Também pode-se calcular por soma ponderada. - Fazendo a soma ponderada (forma direta):
- Simplificando:
Didaticamente: quando
aparece assimetria entre
e
, gerando
. Para
a simetria entre
e
implica
.
Passo 6
Momento de quadrupolo
: definição e cálculo.
- Por definição,
- Calcule
somando estados: -
para e para .
-
- Observação: em ausência de campo (
) este é simplesmente a probabilidade de encontrar (pois cada um tem ).
Passo 7
Entropia por sítio: fórmulas e cálculo.
- Relação termodinâmica útil (fácil de usar com a partição):
Dividindo por
,
- Assim, usando o
já calculado e do Passo 4, temos explicitamente
- Comentário didático: esta expressão dá a entropia por sítio em função de
e . A primeira parcela é o termo “entropia ideal” associado ao número de microestados e a segunda parcela ajusta por conta da energia média.
Passo 8
Expressões simplificadas para o caso
e cálculo do calor específico.
-
Colocando
em todas as fórmulas: -
- Energia por sítio:
- Magnetização:
- Quadrupolo:
- Entropia por sítio:
-
-
Calor específico por sítio
: definição e derivação. - Definição
. É comum reescrever em termos de . - Use
para derivar de forma clara: com álgebra (ver cálculo detalhado abaixo), obtém-se
- Alternativamente, escrevendo explicitamente em
,
- Observação didática curta do cálculo: usando
(pois é vezes a probabilidade de ), diferenciar em relação a e usar dá a expressão acima.
- Definição
Passo 9
Comportamento nos limites
e
(caso
) — valores explícitos.
- Lembrando
e .
-
Limite
( , ): -
. - Probabilidade de estado
vai a ; estados têm energia e ficam suprimidos. - Valores:
- Interpretação física: sistema queda para estado de menor energia (todos
), entropia vai a zero (estado único dominando).
-
-
Limite
( , ): - Todos os três estados equiprováveis (
cada). - Valores médios:
-
então - Energia por sítio
- Entropia por sítio
- Calor específico
(porque para temperaturas muito altas as populações se tornam praticamente constantes com — o decai como ).
-
- Todos os três estados equiprováveis (
Passo 10
Descrição qualitativa dos gráficos (esboço mental) para
e comentário sobre o pico do calor específico.
-
Energia interna
: - Parte em
com e aumenta monoticamente até quando . - Forma: curva tipo “Schottky” crescente, com mudança mais rápida na faixa
.
- Parte em
-
Entropia
: -
, cresce monotonicamente e tende a para . - A subida mais pronunciada ocorre quando
é da ordem de .
-
-
Calor específico
: -
e . Apresenta um pico (pico tipo Schottky) em temperatura da ordem de . - Estimativa da posição do pico: definindo
e maximizando numericamente encontra-se um máximo em . Assim Então o pico ocorre tipicamente para da ordem de . (É uma estimativa numérica; a forma exata pede solução transcendental.)
-
Passo 11
Resumo final das expressões (aqui listo apenas as fórmulas finais prontas para uso).
- Função de partição por sítio:
- Energia interna por sítio:
- Magnetização por sítio:
- Momento de quadrupolo por sítio:
- Entropia por sítio:
- Para
(formas simplificadas): -
. -
. -
. -
. -
. - Calor específico por sítio
-
Resposta
Para
Comportamentos limites para