1. A energia de um sistema de N íons magnéticos localizados, a temperatura T, na presença de um campo H, pode ser escrita na forma
\mathcal{H}=D \sum_{i=1}^{N} S_{i}^{2}-\mu_{0} H \sum_{i=1}^{N} S_{i}
onde os parâmetros D, \mu_{0} e H são positivos e S_{i}=+1,0 ou -1 , para qualquer sítio i. Obtenha expressões para a energia interna, a entropia e a magnetização por sítio. Para campo nulo ( H=0 ), esboce gráficos da energia interna, da entropia e do calor específico contra a temperatura. Indique claramente o comportamento dessas grandezas nos limites T \rightarrow 0 e T \rightarrow \infty. Calcule o valor esperado do “momento de quadrupolo”,
Q=\frac{1}{N}\left\langle\sum_{i=1}^{N} S_{i}^{2}\right\rangle

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos (sem resolver nada aqui).
  • Dados do problema:
    • Sistema com N íons independentes, cada sítio i com spin S_i\in\{+1,0,-1\}.
    • Hamiltoniano total
    \mathcal{H}=D \sum_{i=1}^{N} S_{i}^{2}-\mu_{0} H \sum_{i=1}^{N} S_{i},
    onde D>0,\\ \mu_{0}>0,\\ H\ge0.
    • Temperatura T. Usarei \beta=\dfrac{1}{k_B T}, onde k_B é a constante de Boltzmann.
  • O que o enunciado pede:
    1. Obter expressões por sítio para a energia interna, a entropia e a magnetização.
    2. Para H=0: esboçar (descrever) graficamente contra T a energia interna, a entropia e o calor específico; indicar comportamento nos limites T\to0 e T\to\infty.
    3. Calcular o valor esperado do momento de quadrupolo
    Q=\frac{1}{N}\left\langle\sum_{i=1}^{N} S_{i}^{2}\right\rangle.

Passo 2

Princípio básico e método: sistema não interagente (o Hamiltoniano é soma de termos por sítio), então tratamos um sítio e usamos a função de partição por sítio. Explico a ideia:
  • A função de partição total é Z=\sum_{\{S_i\}} e^{-\beta \mathcal{H}}. Para sítios independentes com a mesma contribuição por sítio, Z=z^{N}, onde z é a função de partição de um sítio.
  • Para um sítio qualquer, os três estados possíveis são S=+1,0,-1. A contribuição energética de um sítio é E(S)=D S^{2}-\mu_{0} H S.
  • Defino
\beta=\frac{1}{k_B T}.
Agora calculamos z.

Passo 3

Cálculo da função de partição por sítio z.
  • Somamos as contribuições dos três estados:
z=\sum_{S\in\{+1,0,-1\}} e^{-\beta(D S^{2}-\mu_{0} H S)}.
  • Avaliando termo a termo:
    • S=0\Rightarrow e^{0}=1.
    • S=+1\Rightarrow e^{-\beta(D-\mu_{0} H)} = e^{-\beta D} e^{\beta \mu_{0} H}.
    • S=-1\Rightarrow e^{-\beta(D+\mu_{0} H)} = e^{-\beta D} e^{-\beta \mu_{0} H}.
  • Somando:
z = 1 + e^{-\beta D}\big(e^{\beta\mu_{0} H}+e^{-\beta\mu_{0} H}\big) = 1 + 2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H).
Também é útil anotar \ln Z = N\ln z.

Passo 4

Energia interna por sítio: definição e derivação passo a passo.
  • Definição: energia média total U = \langle \mathcal{H}\rangle = -\dfrac{\partial \ln Z}{\partial \beta}. Como \ln Z = N\ln z, a energia por sítio é
u \equiv \frac{U}{N} = -\frac{\partial \ln z}{\partial \beta}.
  • Calculo de \partial \ln z/\partial\beta. Primeiro z dependente de \beta via e^{-\beta D} e via \operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H).
    • Derivando z:
    \frac{\partial z}{\partial\beta} = - (D-\mu_{0} H) e^{-\beta(D-\mu_{0} H)} - (D+\mu_{0} H) e^{-\beta(D+\mu_{0} H)}.
    • Então
    u = -\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial\beta} = \frac{(D-\mu_{0} H) e^{-\beta(D-\mu_{0} H)} + (D+\mu_{0} H) e^{-\beta(D+\mu_{0} H)}}{z}.
  • Simplificando usando fator e^{-\beta D}: u=\frac{2 e^{-\beta D}}{z}\Big[ D\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H) - \mu_{0} H \operatorname{sinh}(\beta\mu_{0} H)\Big],com z=1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H).
Observação didática: esse resultado vem diretamente da média ponderada dos energias dos estados S=\pm1 (o estado S=0 tem energia 0). A fórmula acima é a forma compacta que já dá a energia por sítio em função de T e H.

Passo 5

Magnetização por sítio: como obter e interpretar.
  • Definição: magnetização total M=\langle \sum_i S_i\rangle. Por sítio
m\equiv\frac{M}{N}=\langle S\rangle.
  • Para sistemas de equilíbrio a média \langle S\rangle pode ser obtida diretamente da função de partição por diferenciação em respeito ao campo conjugado: \langle S\rangle = \dfrac{1}{\beta}\dfrac{\partial \ln z}{\partial(\mu_{0} H)}. Também pode-se calcular por soma ponderada.
  • Fazendo a soma ponderada (forma direta):
m = \frac{1\cdot e^{-\beta(D-\mu_{0} H)} + (-1)\cdot e^{-\beta(D+\mu_{0} H)} + 0\cdot 1}{z} = \frac{e^{-\beta D}\big(e^{\beta\mu_{0} H}-e^{-\beta\mu_{0} H}\big)}{z}.
  • Simplificando:
m=\frac{2 e^{-\beta D}\operatorname{sinh}(\beta\mu_{0} H)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}.
Didaticamente: quando H>0 aparece assimetria entre S=+1 e S=-1, gerando m>0. Para H=0 a simetria entre +1 e -1 implica m=0.

Passo 6

Momento de quadrupolo Q: definição e cálculo.
  • Por definição,
Q=\frac{1}{N}\left\langle\sum_{i=1}^{N} S_{i}^{2}\right\rangle=\langle S^{2}\rangle.
  • Calcule \langle S^{2}\rangle somando estados:
    • S^2=1 para S=\pm1 e S^2=0 para S=0.
Q=\frac{e^{-\beta(D-\mu_{0} H)} + e^{-\beta(D+\mu_{0} H)}}{z} = \frac{2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}.
  • Observação: em ausência de campo ( H=0) este Q é simplesmente a probabilidade de encontrar S=\pm1 (pois cada um tem S^2=1).

Passo 7

Entropia por sítio: fórmulas e cálculo.
  • Relação termodinâmica útil (fácil de usar com a partição):
S = k_B(\ln Z + \beta U).
Dividindo por N,
s \equiv \frac{S}{N} = k_B\big(\ln z + \beta u\big).
  • Assim, usando o z já calculado e u do Passo 4, temos explicitamente
s = k_B\left[\ln\!\big(1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)\big) + \beta\frac{2 e^{-\beta D}\big(D\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)-\mu_{0} H\operatorname{sinh}(\beta\mu_{0} H)\big)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}\right].
  • Comentário didático: esta expressão dá a entropia por sítio em função de T e H. A primeira parcela k_B\ln z é o termo “entropia ideal” associado ao número de microestados e a segunda parcela ajusta por conta da energia média.

Passo 8

Expressões simplificadas para o caso H=0 e cálculo do calor específico.
  • Colocando \mu_{0} H=0 em todas as fórmulas:
    • z = 1 + 2 e^{-\beta D}.
    • Energia por sítio:
    u(H=0)=\frac{2 D e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}.
    • Magnetização:
    m(H=0)=0.
    • Quadrupolo:
    Q(H=0)=\frac{2 e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}.
    • Entropia por sítio:
    s(H=0)=k_B\left[\ln\!\big(1+2 e^{-\beta D}\big)+\beta\frac{2 D e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}\right].
  • Calor específico por sítio c: definição e derivação.
    • Definição c=\dfrac{\partial u}{\partial T}. É comum reescrever em termos de \beta.
    • Use x\equiv e^{-\beta D} para derivar de forma clara: com álgebra (ver cálculo detalhado abaixo), obtém-se
    c(H=0)=\frac{2 k_B (\beta D)^{2} e^{-\beta D}}{\big(1+2 e^{-\beta D}\big)^{2}}.
    • Alternativamente, escrevendo explicitamente em T,
    c(H=0)=\frac{2 D^{2} e^{-D/(k_B T)}}{k_B T^{2}\,\big(1+2 e^{-D/(k_B T)}\big)^{2}}.
    • Observação didática curta do cálculo: usando u=D\,Q (pois u é D vezes a probabilidade de S^2=1), diferenciar u em relação a T e usar d(e^{-\beta D})/dT = e^{-\beta D}\,D/(k_B T^{2}) dá a expressão acima.

Passo 9

Comportamento nos limites T\to0 e T\to\infty (caso H=0) — valores explícitos.
  • Lembrando \beta=1/(k_B T) e x=e^{-\beta D}.
  1. Limite T\to 0 ( \beta\to\infty, x\to0):
    • z\to1.
    • Probabilidade de estado S=0 vai a 1; estados \pm1 têm energia D>0 e ficam suprimidos.
    • Valores: u\to 0,\qquad s\to 0,\qquad c\to 0,\qquad Q\to 0,\qquad m=0.
    • Interpretação física: sistema queda para estado de menor energia (todos S=0), entropia vai a zero (estado único dominando).
  2. Limite T\to\infty ( \beta\to0, x\to1):
    • Todos os três estados equiprováveis ( 1/3 cada).
    • Valores médios:
      • \langle S^2\rangle = (1+0+1)/3 = 2/3 então Q\to \frac{2}{3}.
      • Energia por sítio u\to D\cdot\frac{2}{3}=\frac{2D}{3}.
      • Entropia por sítio s\to k_B\ln 3.
      • Calor específico c\to 0(porque para temperaturas muito altas as populações se tornam praticamente constantes com T — o c decai como \sim 1/T^{2}).

Passo 10

Descrição qualitativa dos gráficos (esboço mental) para H=0 e comentário sobre o pico do calor específico.
  • Energia interna u(T):
    • Parte em T=0 com u=0 e aumenta monoticamente até u\to 2D/3 quando T\to\infty.
    • Forma: curva tipo “Schottky” crescente, com mudança mais rápida na faixa k_B T\sim D.
  • Entropia s(T):
    • s(0)=0, cresce monotonicamente e tende a k_B\ln 3 para T\to\infty.
    • A subida mais pronunciada ocorre quando k_B T é da ordem de D.
  • Calor específico c(T):
    • c(0)=0 e c(\infty)=0. Apresenta um pico (pico tipo Schottky) em temperatura da ordem de D/k_B.
    • Estimativa da posição do pico: definindo x=\beta D e maximizando numericamente c/k_B=2 x^{2} e^{-x}/(1+2 e^{-x})^{2} encontra-se um máximo em x\approx 2{,}5\text{--}3. Assim k_B T_{\text{pico}}\sim \frac{D}{2{,}8}\approx 0{,}36\,D.Então o pico ocorre tipicamente para T da ordem de (0{,}3\text{–}0{,}4)\,D/k_B. (É uma estimativa numérica; a forma exata pede solução transcendental.)

Passo 11

Resumo final das expressões (aqui listo apenas as fórmulas finais prontas para uso).
  • Função de partição por sítio:
z=1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H).
  • Energia interna por sítio:
u=\frac{2 e^{-\beta D}\big(D\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)-\mu_{0} H\operatorname{sinh}(\beta\mu_{0} H)\big)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}.
  • Magnetização por sítio:
m=\frac{2 e^{-\beta D}\operatorname{sinh}(\beta\mu_{0} H)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}.
  • Momento de quadrupolo por sítio:
Q=\frac{2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}.
  • Entropia por sítio:
s=k_B\left[\ln\!\big(1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)\big)+\beta u\right].
  • Para H=0 (formas simplificadas):
    • z=1+2 e^{-\beta D}.
    • u=\dfrac{2 D e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}.
    • m=0.
    • Q=\dfrac{2 e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}.
    • s=k_B\!\left[\ln(1+2 e^{-\beta D})+\beta\dfrac{2 D e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}\right].
    • Calor específico por sítio
    c=\frac{\partial u}{\partial T} =\frac{2 k_B (\beta D)^{2} e^{-\beta D}}{\big(1+2 e^{-\beta D}\big)^{2}} =\frac{2 D^{2} e^{-D/(k_B T)}}{k_B T^{2}\,\big(1+2 e^{-D/(k_B T)}\big)^{2}}.

Resposta

z=1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)\n
u=\dfrac{2 e^{-\beta D}\big(D\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)-\mu_{0} H\operatorname{sinh}(\beta\mu_{0} H)\big)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}\n
m=\dfrac{2 e^{-\beta D}\operatorname{sinh}(\beta\mu_{0} H)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}\n
Q=\dfrac{2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}{1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)}\n
s=k_B\Big[\ln\!\big(1+2 e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta\mu_{0} H)\big)+\beta u\Big]\n
Para H=0:\n
z=1+2 e^{-\beta D}\n
u=\dfrac{2 D e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}\n
m=0\n
Q=\dfrac{2 e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}\n
s=k_B\!\left[\ln(1+2 e^{-\beta D})+\beta\dfrac{2 D e^{-\beta D}}{1+2 e^{-\beta D}}\right]\n
c=\dfrac{2 k_B (\beta D)^{2} e^{-\beta D}}{\big(1+2 e^{-\beta D}\big)^{2}}=\dfrac{2 D^{2} e^{-D/(k_B T)}}{k_B T^{2}\,\big(1+2 e^{-D/(k_B T)}\big)^{2}}\n
Comportamentos limites para H=0:\n
T\to0:\\ u\to0,\\ s\to0,\\ c\to0,\\ Q\to0,\\ m=0\n
T\to\infty:\\ u\to \dfrac{2D}{3},\\ s\to k_B\ln 3,\\ c\to0,\\ Q\to \dfrac{2}{3},\\ m=0

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