Considere a função
.
Determine e classifique os pontos críticos de
.
Determine e classifique os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dessa função. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para
:
Para
:
Passo 5
Então, os pontos críticos são quando
e
, e quando
e
. Ou seja, temos dois pontos críticos:
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
Passo 7
Calculamos o discriminante
para cada ponto crítico:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 8
Interpretando o discriminante:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Para
:
Então, é um ponto de sela.
Para
:
E
, então é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de máximo local.