Considere a função f(x, y)=3 x^2-y^22-2 x^3.
Determine e classifique os pontos críticos de f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dessa função. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a fx = partial fpartial x = 6x - 6x^2 :
fy = partial fpartial y = -y
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para 6x - 6x^2 = 0 :
6x(1 - x) = 0
x = 0 ou x = 1
-y = 0
Para y = 0 :

Passo 5

Então, os pontos críticos são quando e , e quando e . Ou seja, temos dois pontos críticos:

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6 - 12x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -1
fxy = fyx = 0 (já que não há termo misto)

Passo 7

Calculamos o discriminante D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 para cada ponto crítico:
fxx = 6 - 12(0) = 6
Para o ponto D = 6 cdot (-1) - 0 = -6 :
fxx = 6 - 12(1) = -6
D = (-6) cdot (-1) - 0 = 6
Para o ponto :

Passo 8

Interpretando o discriminante:
  • Se D = -6 < 0 e D = 6 > 0 , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Para :
Então, é um ponto de sela.
Para :
E , então é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de máximo local.

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