Considere a função
, que é claramente diferenciável em todo
.
Use os cálculos do ítem b) para classificar os pontos encontrados no ítem anterior como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de sela.
Use os cálculos do ítem b) para classificar os pontos encontrados no ítem anterior como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
Resumindo a questão: queremos classificar os pontos críticos da função
como máximo local, mínimo local ou ponto de sela usando o teste das segundas derivadas (Hessiano).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem para achar os pontos críticos. Temos
Passo 3
Resolvemos o sistema
e
:
Da equação vem
ou
, ou seja,
.
Da equação vem
ou
, logo
.
Combinar com
dá apenas
e
, resultando nos pontos críticos
e
.
Da equação
Da equação
Combinar
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas para montar o Hessiano:
Passo 5
Determinante do Hessiano:
Passo 6
Em qualquer ponto diferente de
, temos
. Pelo teste de classificação: se
, o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos
e
são pontos de sela.