Considere a função f(x, y)=x^3-3 x y^2+6 y, que é claramente diferenciável em todo R^2.
Use os cálculos do ítem b) para classificar os pontos encontrados no ítem anterior como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

Resumindo a questão: queremos classificar os pontos críticos da função f(x,y)=x^3-3xy^2+6y como máximo local, mínimo local ou ponto de sela usando o teste das segundas derivadas (Hessiano).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem para achar os pontos críticos. Temos
fx=partial fpartial x=3x^2-3y^2,
fy=partial fpartial y=-6xy+6

Passo 3

Resolvemos o sistema fx=0 e fy=0:
Da equação fx=0 vem 3x^2-3y^2=0 ou x^2=y^2, ou seja, y=pm x.
Da equação fy=0 vem -6xy+6=0 ou xy=1, logo y=1/x.
Combinar y=pm x com y=1/x dá apenas y=x e x^2=1, resultando nos pontos críticos (1,1) e (-1,-1).

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas para montar o Hessiano:
fxx=6x,
fyy=-6x,
fxy=fyx=-6y

Passo 5

Determinante do Hessiano:
D(x,y)=fxxfyy-(fxy)^2=(6x)(-6x)-(-6y)^2=-36x^2-36y^2=-36(x^2+y^2)

Passo 6

Em qualquer ponto diferente de (0,0), temos D<0. Pelo teste de classificação: se D<0, o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos (1,1) e (-1,-1) são pontos de sela.

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