Considere a função
, que é claramente diferenciável em todo
.
Calcule o vetor
para um ponto aleatório do domínio;
Calcule o vetor
Passo 1
O enunciado nos pede para encontrar o vetor gradiente de uma função de duas variáveis, ou seja, todas as derivadas parciais de
. Vamos usar o conceito de derivada parcial, tratando cada variável isoladamente.
Passo 2
Para obter a derivada parcial em relação a
, consideramos
como constante e derivamos cada termo de
em relação a
. Temos:
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x3\bigr)-3y2\frac{\partial}{\partial x}(x)+6y\cdot0
=3x2-3y2$$
Passo 3
Para a derivada parcial em relação a
, tratamos
como constante e derivamos cada termo de
em relação a
. Assim:
Passo 4
Reunindo as duas derivadas parciais no vetor gradiente, obtemos: