Considere a função f(x, y)=x^3-3 x y^2+6 y, que é claramente diferenciável em todo R^2.
Calcule o vetor nabla f(x, y) para um ponto aleatório do domínio;

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o vetor gradiente de uma função de duas variáveis, ou seja, todas as derivadas parciais de f(x,y)=x^3-3xy^2+6y. Vamos usar o conceito de derivada parcial, tratando cada variável isoladamente.

Passo 2

Para obter a derivada parcial em relação a x, consideramos y como constante e derivamos cada termo de f em relação a x. Temos:
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x3\bigr)-3y2\frac{\partial}{\partial x}(x)+6y\cdot0
=3x2-3y2$$

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, tratamos x como constante e derivamos cada termo de f em relação a y. Assim:
partial fpartial y=-3xcdot2y+6cdot1=-6xy+6

Passo 4

Reunindo as duas derivadas parciais no vetor gradiente, obtemos:

Resposta

nabla f(x,y)=(3x^2-3y^2,,-6xy+6)

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