Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x^3-2 x^2+x-2=0.A soma dos quadrados dessas raízes é igual a
c) 4

Passo 1

O enunciado pede a soma dos quadrados das raízes distintas p, q e r da equação cúbica x³ – 2x² + x – 2 = 0. O conteúdo usado será as relações de Viète para somas simétricas de raízes e a identidade que relaciona soma de quadrados com soma de raízes e soma de produtos par a par.

Passo 2

Para uma equação geral x³ + a x² + b x + c = 0³², as relações de Viète dizem que:
sigma1 = p + q + r = -a, sigma2 = pq + pr + qr = b, sigma3 = pqr = -c

Passo 3

No nosso caso temos a equação x³ - 2x² + x - 2 = 0³², logo:
a = -2, b = 1, c = -2
Isso nos dá:
$$\sigma_1 = p + q + r = -(-2) = 2,\
\sigma_2 = pq + pr + qr = 1.$$

Passo 4

Usamos a identidade da soma de quadrados:
p^2 + q^2 + r^2 = sigma1^2 - 2sigma2

Passo 5

Substituindo os valores encontrados:
p^2 + q^2 + r^2 = 2^2 - 2cdot1 = 4 - 2 = 2

Resposta

2

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