Mostre que
é diferenciável em
. Escreva a equação do plano tangente ao gráfico de
em
e determine a linearização de
em
. Use a linearização de
para aproximar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função $ f(x, y) = 1 - x y \cos \pi y $ é diferenciável no ponto
. Além disso, vamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de $ f $ nesse ponto, a linearização de $ f $ em
e usar essa linearização para aproximar $ f(1,02; 0,97) $. Para tudo isso, vamos precisar entender de derivadas parciais, diferenciabilidade, plano tangente e linearização.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso porque, para verificar se uma função é diferenciável em um ponto, precisamos ver se essas derivadas existem e são contínuas nesse ponto.
A derivada de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para $ f_x(1,1) $:
(sabendo que $ \cos \pi = -1 $)
Para $ f_y(1,1) $:
(sabendo que $ \sin \pi = 0 $)
Passo 4
Com as derivadas parciais encontradas e contínuas, podemos afirmar que $ f $ é diferenciável em
. Agora, vamos escrever a equação do plano tangente ao gráfico de $ f $ nesse ponto. A fórmula do plano tangente é:
onde
é o ponto de tangência, que nesse caso é
.
Primeiro, calculamos $ f(1,1) $:
Passo 5
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Então, a equação do plano tangente é $ z = x + y $.
A linearização de $ f $ em
é basicamente esse plano tangente:
Passo 6
Agora, vamos usar a linearização $ L(x, y) $ para aproximar $ f(1,02; 0,97) $. Substituímos $ x = 1,02 $ e $ y = 0,97 $ na expressão de $ L $:
Resposta
A aproximação de $ f(1,02; 0,97) $ usando a linearização é $ 1,99 $.