Mostre que f(x, y)=1-x y cos pi y é diferenciável em (1,1). Escreva a equação do plano tangente ao gráfico de f em (1,1) e determine a linearização de f em (1,1). Use a linearização de f para aproximar f(1,02 ; 0,97).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função $ f(x, y) = 1 - x y \cos \pi y $ é diferenciável no ponto f(x, y) = 1 - x y cos pi y . Além disso, vamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de $ f $ nesse ponto, a linearização de $ f $ em (1,1) e usar essa linearização para aproximar $ f(1,02; 0,97) $. Para tudo isso, vamos precisar entender de derivadas parciais, diferenciabilidade, plano tangente e linearização.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso porque, para verificar se uma função é diferenciável em um ponto, precisamos ver se essas derivadas existem e são contínuas nesse ponto.
A derivada de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1,1):
Para $ f_x(1,1) $:
fx(1,1)
(sabendo que $ \cos \pi = -1 $)
Para $ f_y(1,1) $:
fx(1,1) = -1 cdot cos pi cdot 1 = -cos pi = 1
(sabendo que $ \sin \pi = 0 $)

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas e contínuas, podemos afirmar que $ f $ é diferenciável em f . Agora, vamos escrever a equação do plano tangente ao gráfico de $ f $ nesse ponto. A fórmula do plano tangente é:
(1,1)
onde f é o ponto de tangência, que nesse caso é z = f(a,b) + fx(a,b)(x - a) + fy(a,b)(y - b) .
Primeiro, calculamos $ f(1,1) $:
(a,b)

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z = 2 + 1 cdot (x - 1) + 1 cdot (y - 1) = 2 + x - 1 + y - 1 = x + y
Então, a equação do plano tangente é $ z = x + y $.
A linearização de $ f $ em z = x + y é basicamente esse plano tangente:
f

Passo 6

Agora, vamos usar a linearização $ L(x, y) $ para aproximar $ f(1,02; 0,97) $. Substituímos $ x = 1,02 $ e $ y = 0,97 $ na expressão de $ L $:
L(x, y)

Resposta

A aproximação de $ f(1,02; 0,97) $ usando a linearização é $ 1,99 $.

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