Considere a função f(x, y)=x^3-3 x y^2+6 y, que é claramente diferenciável em todo R^2.
Avalie agora, se f possui extremos, nos pontos que formam a bissetriz dos quadrantes ímpares;

Passo 1

A questão nos dá a função f(x,y)=x^3-3xy^2+6y, pede para investigar existência de extremos nos pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares (linha y=x, com x>0 ou x<0). Vamos precisar do gradiente para achar pontos críticos e depois da matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Como passo inicial de resolução, calculamos o gradiente de f. Lembrando que nabla f=(fx,fy):
fx=3x^2-3y^2, fy=-6xy+6

Passo 3

Para focar na bissetriz dos quadrantes ímpares tomamos y=x. Substituindo em nabla f obtemos
nabla f(x,x)=(3x^2-3x^2,,-6xcdot x+6)=(0,6-6x^2)
Igualamos às componentes a zero para achar pontos críticos na reta.

Passo 4

Da segunda componente temos 6-6x^2=0, ou seja x^2=1 e portanto x=pm1. Assim os únicos pontos críticos sobre a bissetriz são (1,1) e (-1,-1).

Passo 5

Para classificar esses pontos usamos a matriz Hessiana de f:
Hf(x,y)=6x & -6y-6y & -6x
Em seguida avaliamos em cada ponto.

Passo 6

No ponto (1,1) a Hessiana é
Hf(1,1)=6 & -6-6 & -6,
cujo determinante é 6cdot(-6)-(-6)^2=-72<0. Em (-1,-1) temos
Hf(-1,-1)=-6 & 66 & 6,
cujo determinante também é -72<0. Determinante negativo indica ponto de sela.

Passo 7

Como ambos os pontos críticos sobre y=x são pontos de sela, concluímos que não há nem máximo nem mínimo de f nos pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares.

Resposta

Não há extremos; os únicos pontos críticos na bissetriz são (1,1) e (-1,-1), ambos pontos de sela.

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