Considere a função
, que é claramente diferenciável em todo
.
Avalie agora, se
possui extremos, nos pontos que formam a bissetriz dos quadrantes ímpares;
Avalie agora, se
Passo 1
A questão nos dá a função
, pede para investigar existência de extremos nos pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares (linha
, com
ou
). Vamos precisar do gradiente para achar pontos críticos e depois da matriz Hessiana para classificar.
Passo 2
Como passo inicial de resolução, calculamos o gradiente de
. Lembrando que
:
Passo 3
Para focar na bissetriz dos quadrantes ímpares tomamos
. Substituindo em
obtemos
Igualamos às componentes a zero para achar pontos críticos na reta.
Passo 4
Da segunda componente temos
, ou seja
e portanto
. Assim os únicos pontos críticos sobre a bissetriz são
e
.
Passo 5
Para classificar esses pontos usamos a matriz Hessiana de
:
Em seguida avaliamos em cada ponto.
Passo 6
No ponto
a Hessiana é
cujo determinante é
. Em
temos
cujo determinante também é
. Determinante negativo indica ponto de sela.
Passo 7
Como ambos os pontos críticos sobre
são pontos de sela, concluímos que não há nem máximo nem mínimo de
nos pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares.
Resposta
Não há extremos; os únicos pontos críticos na bissetriz são (1,1) e (-1,-1), ambos pontos de sela.