Questão 1. (2,0 pontos) Classifique as afirmações em verdadeira (V) ou falsa (F) :
(d) (0,3 ponto) [ ] O divergente do gradiente de uma função de duas (ou três) variáveis consiste em uma função de duas (ou três) variáveis;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolver. A afirmação diz que “o divergente do gradiente de uma função de duas (ou três) variáveis consiste em uma função de duas (ou três) variáveis”. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de cálculo vetorial, especificamente com operadores diferenciais como o gradiente e o divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. Para uma função escalar $ f(x, y) $ ou $ f(x, y, z) $, o gradiente, denotado por $ \nabla f $, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais:
Para duas variáveis:
f(x, y)
Para três variáveis:
f(x, y, z)

Passo 3

O divergente de um campo vetorial $ \mathbf{F} = (F_x, F_y) $ ou $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $ é dado por:
Para duas variáveis:
F = (Fx, Fy)
Para três variáveis:
F = (Fx, Fy, Fz)

Passo 4

Agora, vamos aplicar o divergente ao gradiente de $ f $:
Para duas variáveis:
f
Para três variáveis:
nabla cdot (nabla f) = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2
Isso é conhecido como o Laplaciano de $ f $, denotado por $ \Delta f $.

Passo 5

Observamos que o Laplaciano $ \Delta f $ é uma função das mesmas variáveis que $ f $, ou seja, se $ f $ é de duas ou três variáveis, $ \Delta f $ também será de duas ou três variáveis, respectivamente.

Passo 6

Portanto, a afirmação “O divergente do gradiente de uma função de duas (ou três) variáveis consiste em uma função de duas (ou três) variáveis” é verdadeira.

Resposta

V

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