Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=x^2 y^2x^3-y^2

Passo 1

A questão pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe para f(x,y)=x^2y^2x^3-y^2. Vamos usar limites em duas variáveis e comparação de diferentes caminhos.

Passo 2

Testamos primeiro a reta y=mx. Substituindo em f, temos
f(x,mx)=x^2 (m x)^2x^3-(m x)^2=m^2x^4x^2(x-m^2)=m^2x^2x-m^2
Como xto0, o numerador m^2x^2to0 e o denominador x-m^2to -m^2neq0, logo f(x,mx)to0.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho dado por y^2=x^3+x^6, ou seja y=raizx^3+x^6. Nesse caso:
x^3-y^2=x^3-(x^3+x^6)=-x^6,
x^2y^2=x^2(x^3+x^6)=x^5+x^8
Logo
f(x,y)=x^5+x^8-x^6=-l(x^-1+x^2r)to -infty(xto0^+)

Passo 4

Como ao longo de y=mx o limite é 0 e ao longo de y^2=x^3+x^6 a função tende a -infty, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)x^2y^2x^3-y^2 não existe.

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