Considere a função F(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}+y} :
(a) Calcule o gradiente de F(x, y) em seguida as derivadas parciais de segunda ordem
\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}, \quad \text { e } \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}+y}
e pede (a) o gradiente de F e (b) as derivadas parciais de segunda ordem \frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y} e \frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}. Para isso vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e, nas derivadas de segunda ordem, também a regra do produto.

Passo 2

Para achar a derivada parcial em relação a x, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x,y)} é e^{g(x,y)}\cdot g_x, onde
g(x,y)=x^2+y^2+y
e
\frac{\partial g}{\partial x}=2x.
Portanto,
\frac{\partial F}{\partial x} = e^{x^2+y^2+y}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2+y^2+y}.

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, seguimos o mesmo raciocínio:
\frac{\partial g}{\partial y}=2y+1,
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\frac{\partial F}{\partial y} = e^{x^2+y^2+y}\cdot (2y+1) = (2y+1)\,e^{x^2+y^2+y}.

Passo 4

Agora \frac{\partial^2F}{\partial x^2} é a derivada de \frac{\partial F}{\partial x}=2x\,e^{x^2+y^2+y} em relação a x. Usamos a regra do produto:
\frac{\partial^2F}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2x)\,e^{x^2+y^2+y} +2x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x^2+y^2+y}\bigr).
Isso dá
\frac{\partial^2F}{\partial x^2} =2\,e^{x^2+y^2+y} +2x\cdot(2x\,e^{x^2+y^2+y}) =(4x^2+2)\,e^{x^2+y^2+y}.

Passo 5

Para \frac{\partial^2F}{\partial x\partial y} derivamos \frac{\partial F}{\partial x}=2x\,e^{x^2+y^2+y} em relação a y. Aqui 2x é constante, então
\frac{\partial^2F}{\partial x\partial y} =2x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^2+y^2+y}\bigr) =2x\cdot\bigl((2y+1)\,e^{x^2+y^2+y}\bigr) =2x(2y+1)\,e^{x^2+y^2+y}.

Passo 6

Para \frac{\partial^2F}{\partial y^2} derivamos \frac{\partial F}{\partial y}=(2y+1)\,e^{x^2+y^2+y} em relação a y. Usamos produto:
\frac{\partial^2F}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2y+1)\,e^{x^2+y^2+y} +(2y+1)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^2+y^2+y}\bigr).
Isso resulta em
\frac{\partial^2F}{\partial y^2} =2\,e^{x^2+y^2+y} +(2y+1)\cdot((2y+1)\,e^{x^2+y^2+y}) =\bigl((2y+1)^2+2\bigr)\,e^{x^2+y^2+y}.

Resposta

\nabla F(x,y) = \bigl(2x\,e^{x^2+y^2+y},\,(2y+1)\,e^{x^2+y^2+y}\bigr).
\frac{\partial^2F}{\partial x^2}=(4x^2+2)\,e^{x^2+y^2+y}, \quad \frac{\partial^2F}{\partial x\partial y}=2x(2y+1)\,e^{x^2+y^2+y}, \quad \frac{\partial^2F}{\partial y^2}=\bigl((2y+1)^2+2\bigr)\,e^{x^2+y^2+y}.

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