Considere a função
:
(a) Calcule o gradiente de
em seguida as derivadas parciais de segunda ordem
(a) Calcule o gradiente de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) o gradiente de
e (b) as derivadas parciais de segunda ordem
,
e
. Para isso vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e, nas derivadas de segunda ordem, também a regra do produto.
Passo 2
Para achar a derivada parcial em relação a
, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
e
Portanto,
Passo 3
Para a derivada parcial em relação a
, seguimos o mesmo raciocínio:
logo
Passo 4
Agora
é a derivada de
em relação a
. Usamos a regra do produto:
Isso dá
Passo 5
Para
derivamos
em relação a
. Aqui
é constante, então
Passo 6
Para
derivamos
em relação a
. Usamos produto:
Isso resulta em