3 Uma das equações de estado mais utilizadas na termodinâmica é a equação cúbica de “Van-Der-Walls” que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right) \cdot(v-b)=R \cdot T
onde p é a pressão, T é a temperatura e v é o volume molar ( 1 / \mathrm{mol} ).
Considerando-se o gás carbônico ( \mathrm{CO}_{2} ), determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 300 K . Utilize o método de Newton-Raphson com chute inicial igual a 51 / \mathrm{mol}.
Dados:
\mathrm{R}=0.082054
\mathrm{a}=3.592
\mathrm{b}=0.04267

Passo 1

O enunciado quer o volume molar v que satisfaz a equação de Van‐der‐Waals
\bigl(p+\frac{a}{v^2}\bigr)\,(v-b)=R\,T
para \mathrm{CO}_2 em p=10,atm e T=300,K, usando Newton–Raphson a partir de v_0=51,L/mol. Vamos reescrever isso como achar raiz de uma função f(v)=0.

Passo 2

Definimos
f(v)=\bigl(p+\frac{a}{v^2}\bigr)\,(v-b)-R\,T
e sua derivada
f'(v)=\frac{d}{dv}\Bigl[\bigl(p+\frac{a}{v^2}\bigr)(v-b)\Bigr] =(p+\frac{a}{v^2})-2a\,\frac{v-b}{v^3}.
O método de Newton–Raphson atualiza
v_{n+1}=v_n-\frac{f(v_n)}{f'(v_n)}.

Passo 3

Dados numéricos: \;p=10, \;T=300, \;R=0.082054, \;a=3.592, \;b=0.04267.
Para v_0=51:
f(v_0)=(10+\frac{3.592}{51^2})(51-0.04267)-0.082054\cdot300\approx485.03,
f'(v_0)=10+\frac{3.592}{51^2}-2\cdot3.592\frac{51-0.04267}{51^3}\approx9.9986,
v_1=51-\frac{485.03}{9.9986}\approx2.496\text{ L/mol}.

Passo 4

Para v_1=2.496:
f(v_1)\approx(10+\frac{3.592}{2.496^2})(2.496-0.04267)-24.6162\approx1.334,
f'(v_1)\approx10+\frac{3.592}{2.496^2}-2\cdot3.592\frac{2.496-0.04267}{2.496^3}\approx9.4427,
v_2=2.496-\frac{1.334}{9.4427}\approx2.355\text{ L/mol}.

Passo 5

Para v_2=2.355:
f(v_2)\approx(10+\frac{3.592}{2.355^2})(2.355-0.04267)-24.6162\approx1\times10^{-4},
f'(v_2)\approx10+\frac{3.592}{2.355^2}-2\cdot3.592\frac{2.355-0.04267}{2.355^3}\approx9.3766,
v_3=2.355-\frac{1\times10^{-4}}{9.3766}\approx2.355\text{ L/mol}.
A correção é desprezível, indicando convergência.

Resposta

O volume molar do \mathrm{CO}_2 é aproximadamente 2.355,L/mol.

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